MATLAB矩陣分析與處理完成

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1、第3章MATLAB矩陣分析與處理3.1特殊矩陣3.2矩陣結(jié)構(gòu)變換3.4矩陣求值3.5矩陣的特征值與特征向量3.1特殊矩陣3.1.1通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。3.1.2用于專門學(xué)科的特殊矩陣(1)魔方矩陣魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣，

2、其元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。(3)希爾伯特矩陣在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函

3、數(shù)是hilb(n)。使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。(4)托普利茲矩陣托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個(gè)以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長(zhǎng)。toeplitz(x)用向量x生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣。例如T=

4、toeplitz(1:6)(5)伴隨矩陣MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項(xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：p=[1,0,-7,6];compan(p)(6)帕斯卡矩陣我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。例3.5求(x+y)5的展開式。在MAT

5、LAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)矩陣次對(duì)角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。3.2矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換3.2.1對(duì)角陣與三角陣1．對(duì)角陣只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。(1)提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角

6、線的元素。(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+

7、k

8、)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。2．三角陣三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣。(1)上三角矩陣求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。triu(

9、A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。(2)下三角矩陣在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。3.2.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1．矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(’)。2．矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。3．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對(duì)矩陣實(shí)施

10、左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。3.4矩陣求值3.4.1方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。3.4.2矩陣的秩與跡1．矩陣的秩矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MA