線性代數(shù)(復(fù)旦修訂版)劉金旺2矩陣

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1、第二章矩陣第一節(jié)　矩陣的定義第二節(jié)　矩陣的運(yùn)算第三節(jié)　矩陣的逆第四節(jié)　矩陣的分塊第五節(jié)　矩陣的初等變換與初等矩陣第六節(jié)　初等變換求逆矩陣第七節(jié)　矩陣的秩§1矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換√√√√√其中√表示有航班始發(fā)地ABCD目的地ABCD例某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:√√一、矩陣概念的引入為了便于計(jì)算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間

2、交通聯(lián)接的情況.其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．線性方程組的系數(shù)可以排成行列的數(shù)表：二、矩陣的定義這種數(shù)表即稱為矩陣。定義1：由m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m×n矩陣．記作簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元.行數(shù)不等于列數(shù)共有m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式行

3、數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O.例如：三、特殊的矩陣形如的方陣稱為對(duì)角陣．特別的，方陣稱為單位陣．記作記作．特點(diǎn):從左上角到右下角的直線(主對(duì)角線)上的元素都是1,其他元素都是0。同型矩陣與矩陣相等的概念兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元素相等，即則稱矩陣A與B相等，記作A=B.注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如表示一個(gè)從變量到變量線性變換，其中為常數(shù).它的系數(shù)構(gòu)成一矩陣(aij

4、)m?n(稱為系數(shù)矩陣）是確定的。四、矩陣與線性變換n個(gè)變量與m個(gè)變量之間的關(guān)系式系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.例線性變換稱為恒等變換.對(duì)應(yīng)單位陣En這個(gè)方陣的特點(diǎn):不在對(duì)角線上的元素全為0,這種方陣稱為對(duì)角陣,當(dāng)?1=?2=...=?n=?時(shí),A稱為數(shù)量矩陣。對(duì)應(yīng)投影變換例2階方陣對(duì)應(yīng)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)j角的旋轉(zhuǎn)變換例2階方陣?yán)€性變換對(duì)應(yīng)n階矩陣這個(gè)方陣的特點(diǎn):不在對(duì)角線上的元素全為0,這種方陣稱為對(duì)角陣,當(dāng)?1=?2=...=?n=?時(shí),A稱為數(shù)量矩陣。下一頁(yè)上一頁(yè)返回§2矩陣的運(yùn)算例某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物

5、的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij表示上半年工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中cij表示工廠下半年向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量一、矩陣的加法定義2設(shè)有兩個(gè)m?n矩陣A=(aij),B=(bij),那么A與B的和記為A+B,規(guī)定為注意:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣同型時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算。加法滿足運(yùn)算規(guī)律:(1)A+B=B+A;(交換律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(結(jié)合律)下一頁(yè)上一頁(yè)返回矩陣作為數(shù)表本身無(wú)運(yùn)算含義，為使矩陣有廣泛的應(yīng)用。應(yīng)賦予它某些運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)比較交換律結(jié)合律其他

6、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣A=(aij)，記－A=(－aij)，稱為矩陣A的負(fù)矩陣．顯然設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發(fā)送第j種貨物的總值及總重量其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．二、數(shù)與矩陣相乘定義3數(shù)?與矩陣A的乘積記做?A,規(guī)定為數(shù)乘矩陣滿足運(yùn)算規(guī)律:下一頁(yè)上一頁(yè)返回設(shè)矩陣A=(aij),記-A=(-1)A=(-1aij)=(-

7、aij),-A稱為A的負(fù)矩陣,顯然有A+(-A)=O.其中O為各元素均為0的同型矩陣,由此規(guī)定A-B=A+(-B).下一頁(yè)上一頁(yè)返回結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B是同型矩陣，l,m是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)比較其中aij表示工廠向第i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1表示第i種貨物的單價(jià)，bi2表示第i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．解：以ci1，ci2分別表示工廠向第i家商店