二倍角的正弦、余弦和正切公式(基 礎(chǔ))

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1、二倍角的正弦、余弦和正切公式(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2．能熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式．但不要求記憶），能靈活地將公式變形并運(yùn)用．3．通過(guò)運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理問(wèn)題的自覺(jué)性，體會(huì)換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式

2、中，只有當(dāng)及時(shí)才成立；(2)倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的.要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵.如：；2．和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：第10頁(yè)要點(diǎn)二：二倍角公式的逆用及變形1．公式的逆用；．．．2．公式的變形；降冪公式：升冪公式：要點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類(lèi)基本題型求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1．對(duì)公式會(huì)“正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解

3、、配方、湊項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等；2．掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式，也要抓住角之間的規(guī)律(如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等)；3．將公式和其它知識(shí)銜接起來(lái)使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接.【典型例題】類(lèi)型一：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1．化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）；（3）．【思路點(diǎn)撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．第10頁(yè)【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）．（2）．（3）．【總結(jié)升華】本題的解答沒(méi)有去就單個(gè)角求其函數(shù)值，而是將所給式子作為一個(gè)整體變形，逐步向二倍角公式的展開(kāi)形

4、式靠近，然后逆用倍角公式，要仔細(xì)體會(huì)本題中的解題思路．舉一反三：【變式1】求值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．類(lèi)型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函數(shù)值例2．求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．【思路點(diǎn)撥】解這類(lèi)題型有兩種方法：方法一：適用，不斷地使用二倍角的正弦公式．方法二：將正弦題目中的正弦形式全部轉(zhuǎn)化為余弦形式，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)．第10頁(yè)【答案】【解析】方法一：．∴方法二：原式．【總結(jié)升華】本題是二倍角公式應(yīng)用的經(jīng)典試題．方法一和方法二通過(guò)觀察角度間的關(guān)系

5、，發(fā)現(xiàn)其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得問(wèn)題出現(xiàn)連用二倍角的正弦公式的形式．在此過(guò)程中還應(yīng)該看到化簡(jiǎn)以后的分子分母中的角是互余（補(bǔ)）的關(guān)系，從而使最終的結(jié)果為實(shí)數(shù)．利用上述思想，我們還可以把問(wèn)題推廣到一般的情形：一般地，若，則．舉一反三：【變式1】求值：sin10°cos40°sin70°．【解析】原式．類(lèi)型三：利用二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例3．化簡(jiǎn)下列各式：(1)【思路點(diǎn)撥】（1）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開(kāi)成單角，再進(jìn)行化簡(jiǎn)．（2）觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開(kāi)成單角，利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．【答案】（1）（2）【解

6、析】(1)(2)第10頁(yè)【總結(jié)升華】①余弦的二倍角公式的變形形式：．經(jīng)常起到消除式子中1的作用．②由于，可進(jìn)行無(wú)理式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算．例4．化簡(jiǎn)：．【解析】原式．【總結(jié)升華】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)要從減少角的種類(lèi)、函數(shù)的種類(lèi)入手．通過(guò)切化弦、弦化切、異化同、高次降冪等手段，使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡(jiǎn)形式．舉一反三：【變式1】（1）的化簡(jiǎn)結(jié)果是．（2）已知，且α∈(，π)，則的值為．【答案】（1）（2）【解析】（1）原式====（2）因?yàn)?，且α?，π)，所以，原式=第10頁(yè)．類(lèi)型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應(yīng)用例5．求值：（1）已知，求．（2）已知，求．

7、【思路點(diǎn)撥】觀察所求的角與已知角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關(guān)系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）（2）【解析】（1）===（2）===【總結(jié)升華】給值求值是求值問(wèn)題中常見(jiàn)的題型，求解的要點(diǎn)是利用公式溝通已知條件和所求式子之間的聯(lián)系，考查公式運(yùn)用和變換的技巧．舉一反三：【變式1】已知，且，求，，的值．【答案】【解析】由，得，第10頁(yè)即，∴由，得，∴．即．整理得．解得或（舍去）．∴．∴．【總結(jié)升華】解題過(guò)程中注意角的范圍的判定．【變式2】已知，（1）求tan的值；（2）求的值．【解析】（1），解得．（2）．【總結(jié)升華】第（1）問(wèn)中利用了方程的思想求ta

8、n的值；對(duì)于第（2）問(wèn)的題型，一般需要將分式轉(zhuǎn)化為含tan的式子求解，或者通過(guò)消元轉(zhuǎn)化的方法求