【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文】商高方程及其應(yīng)用

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1、（　20　屆）本科畢業(yè)論文商高方程及其應(yīng)用摘要：商高方程是個古老的數(shù)學(xué)問題．是二次不定方程的一個特殊形式．本文對商高方程的歷史背景、它的解的形式探索及應(yīng)用、推廣并在費馬大定理中所處的重要地位進行初步的介紹和研究．對其解的形式的部分結(jié)果給出證明．為學(xué)習(xí)和探究更復(fù)雜的二次及高次不定方程打下扎實基礎(chǔ)．關(guān)鍵詞：商高定理；商高方程；費馬大定理；二次不定方程Pythagoras-equationAndItsApplicationsAbstract:Pythagoras-theoremistheancientmathematicsquestion.Thisisaquadraticdiophantineequ

2、ationspecialform.ThisarticletoPythagoras-theorem'shistoricalperspective,itssolution'sformexploresandapplies,thepromotionandtheimportantpositionwhichlocatesintheFermat'slasttheoremcarriesonthepreliminaryintroductionandtheresearch.Givestheprooftoitssolution'sform'spartialresults.Inordertostudyandinqui

3、reintothatmorecomplextwoandthehighermodeindefiniteequationbuildsthesolidfoundation.Keywords:Pythagorastheorem;Pythagoras-equation;Fermat'slasttheorem;quadraticdiophantineequations目錄1引言11.1概論11.2商高定理及費馬大定理的歷史背景11.2.1商高定理的歷史背景11.2.2費馬大定理的歷史背景21.3商高方程和費馬猜想的研究過程、現(xiàn)狀以及發(fā)展方向32商高方程42.1一次不定方程簡介42.2商高方程解的形式52.

4、3商高方程求解舉例73商高方程應(yīng)用之推廣94費馬猜想的部分證明134.1兩個引理134.2費馬猜想當(dāng)時的證明155總結(jié)22致謝23參考文獻241引言1.1概論初等數(shù)論研究的是整數(shù)最基本的性質(zhì)，是一門十分重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課．其內(nèi)容豐富而又充滿魅力．就如潘承彪教授說的那樣：好像沒有一門學(xué)科像“初等數(shù)論”那樣，它的最基本的內(nèi)容可以同時作為中小學(xué)生、大學(xué)生以及研究生的一門課程，當(dāng)然在內(nèi)容的深淺難易上各有不同．直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們?nèi)詷反瞬黄５闹鴶?shù)論中那些看似簡單，但仍未找到其證明方法的問題．就如眾說周知但至今尚未解決的“哥德巴赫猜想”，幾百年來挑戰(zhàn)了眾多數(shù)學(xué)家的智慧，也得到了不少著名結(jié)果，卻依舊是那樣的神秘

5、．足以可見這門課程的獨特魅力所在．而中國在初等數(shù)論的研究有著悠久的歷史和杰出的貢獻．如：商高定理、中國剩余定理等．初等數(shù)論中一個重要分支就是不定方程．其中最著名的二次不定方程商高方程的求解問題是本文研究的焦點．它的解的形式多樣，其內(nèi)容豐富多彩．只有弄清商高方程，才能對不定方程有更深入的把握，才能繼續(xù)研究形式更復(fù)雜的不定方程解的情況，并對著名的費馬大定理（解的存在性）有更清楚的認識．1.2商高定理及費馬大定理的歷史背景1.2.1商高定理的歷史背景商高定理是個歷史悠久的著名定理，我國古人在這方面的研究留下了一系列寶貴的著作．《周髀算經(jīng)》就是我國流傳下來的一部重要的數(shù)學(xué)著作，該書原名《周髀》，大約成

6、書于公元2世紀(jì)．它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分數(shù)運算、商高定理（勾股定理）及其在天文學(xué)測量的應(yīng)用．該書卷首記述了一段精彩的對話：昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一．故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五．既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五．兩矩共長二十有五，是謂積矩．故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也．”［１］由于此定理是商高發(fā)現(xiàn)的，所以稱為“商高定理”．24《周髀算經(jīng)》里還這樣記載：周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸．髀者，股也，正晷者，勾

7、也．正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸．日益表南，晷日益長．候勾六尺,即取竹，空經(jīng)一寸，長八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應(yīng)空之孔．由此觀之,率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股，從髀至日下六萬里而髀無影，從此以上至日，則八萬里．［１］這段文字描述了中國古代人民如何利用商高定理在科學(xué)上進行實踐．基于上述淵源，所以我們把這一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”．這是中國最早關(guān)于勾股定理書面記