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1、數(shù)學(xué)物理方法貝塞爾函數(shù)(BesselFunction)一、貝塞爾函數(shù)的引出在柱坐標(biāo)系下，對拉普拉斯（Laplace）方程或亥姆霍茲（Helmholtz）方程進(jìn)行分離變量，將導(dǎo)出n階Bessel方程。柱坐標(biāo)系中用分離變量法解拉普拉斯方程問題時(shí),以代入Lplace方程如果圓柱上、下兩底的邊界條件不是齊次的，而圓柱的側(cè)面的邊界條件是齊次的，就得出一般情況下，貝塞爾方程的解不能用初等函數(shù)表示，從而就導(dǎo)入了一類特殊函數(shù)——貝塞爾函數(shù)。引入新的自變量,上面最后一個(gè)方程可改寫為其中,n為任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),本章中n只限與實(shí)數(shù).二、貝塞爾
2、方程的解這就是貝塞爾方程.——貝塞爾方程設(shè)上述貝塞爾方程有一個(gè)級數(shù)解，其形式為其中,常數(shù)和可以通過把和它的導(dǎo)數(shù)、代入上式來確定。到此，我們可以得到一個(gè)特解用級數(shù)的比率判別法（或稱達(dá)朗貝爾判別法）可以判定這個(gè)級數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂。這個(gè)無窮級數(shù)所確定的函數(shù)，稱為n階第一類貝塞爾函數(shù)，記作——貝塞爾方程的一個(gè)特解當(dāng)n為正整數(shù)或零時(shí)，，故有或——n階貝塞爾函數(shù)——n階紐曼函數(shù)(第二類n階貝塞爾函數(shù))——n階漢克爾函數(shù)(第三類n階貝塞爾函數(shù))(n≠整數(shù))貝塞爾函數(shù)的圖象諾伊曼函數(shù)的圖象三、當(dāng)n為整數(shù)時(shí)貝塞爾方程的通解取哪一個(gè)特解
3、?一般情況下認(rèn)為選取第二類貝塞爾函數(shù)比較方便.不過,當(dāng)n為整數(shù)時(shí)上式右端無意義!為此,要想寫出整數(shù)階貝塞爾方程的通解必須要修改第二類貝塞爾函數(shù)的定義.在n為整數(shù)的情況下,我們定義第二類貝塞爾函數(shù)為由于當(dāng)n為整數(shù)時(shí),,所以上式右端的極限是形式的不定型的極限,依據(jù)洛必達(dá)法則并經(jīng)過冗長的推導(dǎo),最后得到其中,稱為歐拉常數(shù).依據(jù)重新定義的函數(shù),它的確是貝塞爾方程的解,而且與是線性無關(guān)的(因?yàn)楫?dāng)時(shí),為有限值,而為無窮大.綜上所述,貝塞爾方程的通解為其中A,B為任意常數(shù),n為任意實(shí)數(shù).四、貝塞爾函數(shù)的生成函數(shù)函數(shù)稱為整數(shù)階第一類貝塞
4、爾函數(shù)的生成函數(shù).它對于得到n取整數(shù)值的第一類貝塞爾函數(shù)的諸多性質(zhì)是非常有用的,然后?？勺C明這些性質(zhì)對所有的n也成立.五、貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間不是彼此孤立的,而是有一定的聯(lián)系,這種聯(lián)系建立在遞推公式上.首先考慮零階與一階貝塞爾函數(shù)之間的關(guān)系.在下式中,令n=0及n=1n=0；m=0→∞：n=1；m=0→∞：取出第一個(gè)級數(shù)的第k+1項(xiàng)求導(dǎo)數(shù),得n=1；m=0→∞：得到關(guān)系將乘以并求導(dǎo)數(shù),又得到即以上結(jié)果,可以推廣.下列結(jié)論對所有的n都是成立的:六、可變換成貝塞爾方程的方程方程其中都是常數(shù),有通解其中
5、若,方程可視為歐拉或柯西方程,是可解的.七、貝塞爾函數(shù)的漸近公式對于大的值,有下列漸近公式:八、貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)在求園盤的溫度分布時(shí),是通過分離變量法,轉(zhuǎn)化為求解貝塞爾方程的本征值問題:為了求出上述本征值方程的本征值,必須要計(jì)算的零點(diǎn).有沒有實(shí)的零點(diǎn)?若存在實(shí)的零點(diǎn),一共有多少個(gè)?關(guān)于這些問題,有以下幾個(gè)結(jié)論.（1）有無窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，且這無窮多個(gè)零點(diǎn)在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱分布。自然必有無窮多個(gè)正的零點(diǎn)。（2）的零點(diǎn)與的零點(diǎn)彼此相間分布。（3）以表示的非負(fù)零點(diǎn)（正的零點(diǎn)）（m=1，2，…),則當(dāng)時(shí),其值將無限地接近于π
6、,即幾乎是以2π為周期的周期函數(shù).九、貝塞爾函數(shù)的正交性在求園盤的溫度分布時(shí),是通過分離變量法,轉(zhuǎn)化為求解貝塞爾方程的本征值問題:本征值方程上述本征方程的解為:即本征值與這些本征值相對應(yīng)的本征函數(shù)為:本征函數(shù)本征函數(shù)本征函數(shù)系的正交性.在上,帶權(quán)重正交.若和是兩個(gè)不同的常數(shù),可以證明而由第一式我們看到,若和是方程的任意兩個(gè)不同的根(這里R,S是常數(shù)),則它表明和在(0,1)是正交的.我們也可以說和是關(guān)于權(quán)函數(shù)正交的.
