概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)筆記3

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1、第三章、多維rv及其分布第一節(jié)多維rv及分布函數(shù)一、多維rv定義：設(shè)是樣本空間上的隨機(jī)變量，則向量X=（）稱為n維rv注：1.二維rv（X，Y）2.二維rv（X，Y）的幾何意義，平面內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)二、聯(lián)合分布函數(shù)定義：設(shè)（X，Y）為二維rv，則二元實(shí)值函數(shù)，,稱為（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)注：1.定義式子2.的幾何定義，圖形中平面點(diǎn)集G的面積3.的性質(zhì)性質(zhì)1.分別關(guān)于的單調(diào)遞增的性質(zhì)2.，性質(zhì)3.==1==0==0==0==三、邊緣分布函數(shù)定義：假設(shè)二維rv（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為，則r，v，X當(dāng)Y的概率分布函數(shù)分別稱為（X，Y）關(guān)于X及Y的邊緣分布函數(shù)則==同理可得==四、獨(dú)立性P

2、（AB）=P(A)P（B）P（A

3、B）=P(A)=*=*定理：=*相互獨(dú)立第二節(jié)二維離散型r.v.一、概念定義：若存在可列集B,使P{(X,Y)}=1，則稱（X,Y）為二維離散型r.v[注]：1.（X,Y）為離散型X,Y一定為離散型2.二維離散型r.v取值的點(diǎn)的特征二、聯(lián)合分布列定義：設(shè)（X,Y）為二維離散型r.v，取值為{（）}，i，j=1、2……，則=()，i，j=1,2……稱為二維r.v（X,Y）的聯(lián)合分布列[注]：1.非負(fù)性，i，j=1,2……歸一性2.聯(lián)合分布列3.求聯(lián)合分布列的步驟Step1.確定所有可能的點(diǎn)Step2.計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)事件的概率例：將手感完全相同的三個(gè)小

4、球，放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，X表示1號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)，Y表示2號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)，求（Z,Y）的聯(lián)合分布列解：=P（X=i,Y=j）=P(Z=i)P(Y=j)i,j=0、1、2、3i+j3而Z~B(3，)，所以P(Z=i)=在Z=i的條件下，Y~B(3—i，)，所以P={(Y=j}=所以i,j=0,1,2,3i+j34.F(x,y)=P(Xx，Yy)=三、邊緣分布列定義：設(shè)二維r.v(Z,Y)的聯(lián)合分布列為i、j=1,2，……，則r.vZ和Y的概率分布列分別稱為（Z,Y）關(guān)于Z及Y的邊緣分布列記作：i=1,2……同理：例：設(shè)-10101000-1010.50.5且P{XY=0

5、}=1，求（X,Y）的聯(lián)合分布列分析P(XY0)=0=P(Z=-1，Y=1)+P(Z=1，Y=1)因?yàn)镻(X=-1，Y=-1)0P(X=1,Y=1)0所以P(Z=-1，Y=1)=0P(X=1，Y=1)=0四、獨(dú)立性定義：設(shè)（Z,Y）的分布律滿足P(Z=)=P()P()即i，j=1、2……，則稱r.vZ與Y相互獨(dú)立例：設(shè)若X和Y相互獨(dú)立，求a.b.c解:由歸一性得a+b+c+++=1即a+b+c=(1)由Z與Y相互獨(dú)立P(Z=，Y=)=P(Z=)P(Y=)即a=（a+）（a++c）（2）同理P()=P()P()即b=(+b)(+b+)（3）五、條件分布列定義：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布列為

6、=，X的邊緣分布列為，則稱（0）為在X=的條件下，Y的分布列。定義：設(shè)為X=的條件下Y的條件分布列，則稱為X=的條件下，Y的條件分布函數(shù)，且例：設(shè)XY-10100.200.3100.50求X=-1的條件下Y的條件分布。解：Y0110X=-1的條件下，Y的分布列為①當(dāng)y<0時(shí)，=0②當(dāng)0y<1時(shí)，=③當(dāng)y1時(shí)，例：設(shè)某汽車站上客的人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布（），每位乘客在中途下車的概率為p(0

7、定義：若存在一非負(fù)可積函數(shù)f(x,y)，使得對(duì)一切,有，則稱（x,y）為二維連續(xù)型r、v，f(x,y)稱為（x,y）的聯(lián)合密度函數(shù)。注：1、非負(fù)性歸一性2、若G可度量面積，則，若G不可度量面積，則3、F(x,y)分別對(duì)x,y連續(xù)4、在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)處有二、邊緣密度定義：設(shè)二維r、v(x,y)的聯(lián)合密度為f(x,y),則r、v、x或r、v、y的概率密度函數(shù)或，稱為（x,y）關(guān)于x（或y）的邊緣密度函數(shù)。分析：由同理：。例：設(shè),求：（1）、常數(shù)c（2）、p{x+y<1}（3）、解：(1)由，及，c=4(2)設(shè)則則=（3）當(dāng)x>0時(shí)，所以例2：，求解:當(dāng)故當(dāng)所以三、條件密度定義：設(shè)對(duì)

8、>0，有>0，若極限存在，則稱該極限為Y=y的條件下，r.v.X的條件分布函數(shù)，記作[分析]：====若f(x,y)及為連續(xù)函數(shù)，則==定義：設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為f(x,y)，r.v.Y的邊緣密度為>0,在f(x,y)及的連續(xù)點(diǎn)處有，稱為Y=y的條件下r.v.X的條件密度四、獨(dú)立性定理：設(shè)f(x,y),及處處連續(xù)，則X與Y獨(dú)立的充要條件是f(x,y)=或==五、常用的分布1、二維均勻分布2、二維正太分布第四節(jié)多維r.v.函數(shù)的分布結(jié)論：隨機(jī)變量Z=g(