導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(競賽02)

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1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、應(yīng)用班級(jí)姓名復(fù)習(xí)：；；；；；；；．知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，若在該區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；若在該區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．例1．判斷下列函數(shù)的的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）．要點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的三個(gè)步驟：①求函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)；②令，解不等式得的范圍即為增區(qū)間；③令，解不等式得的范圍即為減區(qū)間．問題1：若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則函數(shù)有什么特性？例2．已知導(dǎo)函數(shù)有下列信息：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)，或時(shí)，；③當(dāng)，或

2、時(shí)，；試畫出函數(shù)圖像的大致形狀．9例3．如圖，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像．練習(xí)1．判斷下列函數(shù)的的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．練習(xí)2．求證：函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)．知識(shí)拓展一一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖，函數(shù)在9或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”．知識(shí)點(diǎn)

3、二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值問題2：如圖，函數(shù)在等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？觀察：函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都，；且在點(diǎn)附近的左側(cè)0，右側(cè)0；類似地，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)0，右側(cè)0．定義：我們把點(diǎn)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；點(diǎn)叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．極值反映函數(shù)在某一點(diǎn)附近的，刻畫的是函數(shù)的注意：①函數(shù)的極

4、值（填：是，不是）唯一的；②一個(gè)函數(shù)的極大值是否一定大于極小值；③極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的（內(nèi)，外）部，區(qū)間的端點(diǎn)（能，不能）成為極值點(diǎn)．④極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的關(guān)系：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否一定是極值點(diǎn)？比如：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，但它（是或不是）極值點(diǎn)．即：導(dǎo)數(shù)為0是點(diǎn)為極值點(diǎn)的條件．例4．求函數(shù)的極值．9要點(diǎn)：求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③求方程的根；④用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格；檢查在方程根左右的值的符號(hào)，若左正右負(fù)，則在這個(gè)根處取得極大值；若左負(fù)右正，

5、則取得極小值；若左右不改變符號(hào)，則在這個(gè)根處無極值．例5．已知函數(shù)；（1）寫出函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）討論函數(shù)的極大值和極小值，如有，試寫出極值；（3）畫出它的大致圖像．練習(xí)3．求下列函數(shù)的極值：①；②；③；④．9知識(shí)拓展二函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但有可能是該函數(shù)的極值點(diǎn)；由些可見：“有極值但不一定可導(dǎo)”．知識(shí)點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．觀察：上圖的極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)為；最大值為，最小值為．注意：1．最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．2．

6、函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的條件．3．函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而極值可能不止一個(gè)，可能一個(gè)沒有．例6．求函數(shù)在上的最大值與最小值．例7．已知，，是否存在實(shí)數(shù)、，使同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②的最小值是1；若存在，求出、，若不存在，說明理由．9例8．設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1，最小值為，求函數(shù)的解析式．要點(diǎn)：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最值的步驟如下：①求在內(nèi)的極值；②將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值．練習(xí)4．設(shè)為常數(shù)，求函數(shù)的最大值

7、．練習(xí)5．已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．知識(shí)拓展三9利用導(dǎo)數(shù)法求最值，實(shí)質(zhì)是在比較某些函數(shù)值來得到最值，因此我們可以在導(dǎo)數(shù)法求極值的思路的基礎(chǔ)上進(jìn)行變通．令得到方程的根，，，直接求得函數(shù)值，然后去與端點(diǎn)的函數(shù)值比較就可以了，省略了判斷極值的過程．故導(dǎo)數(shù)法與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，也可以求最值．知識(shí)點(diǎn)四：生活中優(yōu)化問題舉例例9．在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去邊長都為的小正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱底的容積最

8、大？最大容積是多少？例10．班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳．現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為，上、下兩邊各空，左、右兩邊各空；如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最??？練習(xí)6．如圖用鐵絲彎成一個(gè)上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為，為使所用材料最省，底寬應(yīng)為多少？9要點(diǎn)：①解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，需