第3章二階線性常微分方程_291101271

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1、第三章二階線性常微分方程§3.1二階線性常微分方程的一般理論3.1.1解的存在唯一性定理3.1.2齊次方程解的結(jié)構(gòu)3.1.3非齊次方程的解§3.2斯圖姆-劉維爾型方程的特征值問(wèn)題3.2.1斯圖姆-劉維爾方程的形式3.2.2斯圖姆-劉維爾方程的邊界條件3.2.3斯圖姆-劉維爾特征值問(wèn)題§3.3斯圖姆-劉維爾型方程的多項(xiàng)式解集3.3.1核函數(shù)和權(quán)函數(shù)的可能的形式3.3.2多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)表達(dá)式和微商表示3.3.3母函數(shù)關(guān)系3.3.4正交的斯圖姆-劉維爾多項(xiàng)式解集的完備性定理§3.4與多項(xiàng)式斯圖姆-劉維爾系統(tǒng)有關(guān)的方程和函數(shù)3.4.1拉蓋爾函數(shù)3.4

2、.2勒讓德函數(shù)3.4.3切比雪夫函數(shù)3.4.4厄米函數(shù)§3.5切比雪夫雙曲函數(shù)§3.6非齊次方程有解的條件§3.7二階常微分方程的復(fù)變函數(shù)理論3.7.1齊次線性方程組的解3.7.2二階常微分方程習(xí)題§3.1二階線性常微分方程的一般理論3.1.1解的存在唯一性定理物理問(wèn)題經(jīng)常在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為二階微分方程，可以是常微分方程或者偏微分方程.通常情況下，偏微分方程是通過(guò)分離變量法來(lái)分解為幾個(gè)常微分方程的.因而，解決常微分方程是解決偏微分方程的基礎(chǔ).定義1凡聯(lián)系自變量x，未知函數(shù)y及其某些導(dǎo)數(shù)或微分的方程，稱為常微分方程，簡(jiǎn)稱微分方程.定義2微分方程中

3、出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的1階.定義3如果在微分方程中，未知函數(shù)及其所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)都沒(méi)有二次以上的冪次，則稱為線性微分方程，否則稱為非線性微分方程.在實(shí)際問(wèn)題中，最常遇到的是二階線性常微分方程.它的一般形狀是yxpxyxqxyxfx′′()++=()()()()′()(3.1.1)常稱這種形式是二階線性常微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型.如果fx()0≡，則稱方程是齊次的；如果fx()0≠則稱方程是非齊次的.yx′′()++=pxyxqxyx()()()()0′(3.1.2)對(duì)于齊次方程，可以證明(解的存在唯一性定理)：對(duì)于以下的初值問(wèn)

4、題?ypxyqxy′′++=()′()0?(3.1.3)?yx(),()==αyx′β00其中x∈[,]ab，x在區(qū)間[,]ab上，解存在且唯一.0我們不在此給出冗長(zhǎng)的證明過(guò)程，只介紹證明的思路.令z=y′之后，原方就變成了如下的方程組.?z′=?pxzqxy()?()??yz′=這是一階的齊次線性方程組.它與原方程等價(jià).容易看出，與原方程等價(jià)的問(wèn)題是，我們只要一般地證明下述初值問(wèn)題的的解存在與唯一性就行了.?y′=+axyaxy()()1111122??y′=+axyaxy()()(3.1.4)2211222??yx(),()==αyxβ

5、1020證明的過(guò)程是，先設(shè)兩個(gè)初始函數(shù)yy,(可以取yy==α,β)，代入(3.1.4)1,12,11,12,1式的右邊，經(jīng)過(guò)積分后，左邊得到兩個(gè)新的函數(shù)yy,，把新的函數(shù)再代入(3.1.4)1,22,2式的右邊，又經(jīng)過(guò)積分得到新的函數(shù)yy,，如此下去，這樣就得到了一函數(shù)1,32,3序列{,}yy.然后證明這一函數(shù)序列是一致收斂于(3.1.4)的解的.這就是說(shuō)，方1,nn2,程(3.1.4)一定是有解的，這就是解的存在性.由于這一函數(shù)序列是逐步逼近方程的解的，這一證明過(guò)程稱為逐步逼近法.要證明解的唯一性，就假設(shè)有兩對(duì)函數(shù)y()x，y()x和

6、z()x，z()x滿足方1212程(3.1.4)，那么令uyzuyz=?,=?1112222對(duì)于初值問(wèn)題?uaxuaxu′=+()()1111122??uax′=+()uax()u(3.1.5)2211222??ux()0,()0==ux1020其解一定為零，uu==0,0.(可以這樣來(lái)看，仍然運(yùn)用逐步逼近法，現(xiàn)在的初始12函數(shù)值uu==αβ0,==0.)因而，y≡≡zyz,.我們把定理敘述如下.1,12,11122定理1(解的存在唯一性定理)如果函數(shù)axij()(,=1,2)在含x的某一區(qū)間ij0[,]ab上連續(xù)，則在該區(qū)間上，初值問(wèn)題(

7、3.1.4)有且只有一組解y==yxyyx(),().1122由唯一性定理的證明過(guò)程，我們也可以把唯一性定理敘述為：如果有兩個(gè)函數(shù)y和y都滿足(3.1.2)且滿足同樣的初始條件，那么，這兩個(gè)函數(shù)是相等的，12y≡y.12對(duì)于高階的齊次線性常微分方程，同樣有解的存在與唯一性定理.證明的思路也與二階的情況一樣，先化成一階線性微分方程組，然后用逐次逼近法證明.我們先介紹齊次方程解的結(jié)構(gòu)，然后給出非齊次方程解的表達(dá)式.3.1.2齊次方程解的結(jié)構(gòu)(1)基本解組定義4設(shè)有兩個(gè)函數(shù)y()x和y()x，如果存在兩個(gè)不同時(shí)為零的常數(shù)c和121c，使得2cyx

8、cyx()+=()0(3.1.6)1122在區(qū)間[,]ab上恒成立，我們就說(shuō)y()x和y()x是在區(qū)間[,]ab上線性相關(guān)的.反之，12如果只有當(dāng)c和c同時(shí)為零，(3.1.6)式