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《典型例題分析五》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、典型例題分析五???例1求證：存在三次多項式滿足下面函數(shù)表x－2－10131y－56－16－2－24376證?由于表中給出了六個點的函數(shù)值，根據(jù)Newton插值公式，一般情況下可以構(gòu)造出一個5次插值多項式，這個5次多項式必然滿足上面函數(shù)表???構(gòu)造差商表如下xy一階差商二階差商三階差商四階差商－2－56????－1－1640???0－214－13??1－20－72?3431207376931520???由上表知，由于四階差商以上均為0，所以這個5次多項式實際上是3次多項式故存在三次多項式滿足是所給的函數(shù)表。???一般情況下，給定n+1個節(jié)點，可構(gòu)造一個n次插值多項式，若得到低于n
2、次的插值多項式，稱為“退化”情況，利用Newton插值，很容易檢查出是否為“退化”情況，因為利用差商（差分）表，當某一階差商（差分）為常數(shù)時，則下一階差商（差商）必定為0，此時必會出現(xiàn)“退化”情況。???例2?Runge現(xiàn)象的發(fā)生和防止???對區(qū)間作等距劃分：，，分別取以為節(jié)點對函數(shù)按下述方案進行插值計算，并比較其結(jié)果???方案I?拉格朗日插值；???方案II?分段線性插值；???方案III?三次樣條插值。???解?這里只將求解后的部分數(shù)值結(jié)果列于表1中。由此可以看到，拉格朗日插值的效果并沒有隨n增大而變化，與此相反，在區(qū)間端點附近，反而發(fā)生了激烈的振蕩，即出現(xiàn)了龍格現(xiàn)象。而分段
3、線性插值、三次樣條插值都能較好地逼近，且隨著n的增大，逼近效果更好，反映了分段線性插值和三次樣條插值的一致收斂性，防止了龍格現(xiàn)象的產(chǎn)生，從表中數(shù)據(jù)可以看到，三次樣條插值的精度比分段線性插值更高。表1Xf(x)拉格朗日插值分段線性插值三次樣條插值n=10n=20n=10n=20n=10n=200.150.640000.678990.636760.625000.650000.657470.643170.250.390240.342640.395090.425000.403850.380490.389420.350.246150.190580.238450.275000.253850.
4、240550.246270.450.164940.234970.179760.175000.168970.167230.164860.550.116780.215590.080660.125000.118970.117840.116790.650.08648－0.072600.202420.089710.087740.085890.086480.750.06639－0.23146－0.447050.069120.067150.066020.066390.850.052450.719463.454970.053730.052940.052600.052460.950.042440.
5、92362－39.952580.043550.042760.042480.04244???例3?反插值???給出函數(shù)的函數(shù)表（表2），試利用此數(shù)表求使的x值。???表2X2.22.42.62.83.0Y4.4575.4666.6958.19810.018???解?插值是利用函數(shù)的已知數(shù)據(jù)求給定的自變量x所對應的函數(shù)y的近似值。而本題則是求已知函數(shù)值y所對應的自變量x之值。如果函數(shù)的反函數(shù)存在，則可把所給數(shù)據(jù)值y視為自變量取值，而把x的值視為函數(shù)值，對反函數(shù)進行插值，即可求得欲求的x，這樣的問題稱為反插值。???由于為單增函數(shù)，所以其反函數(shù)存在，現(xiàn)用牛頓插值法求解該問題。首先構(gòu)造反
6、函數(shù)的差商表3。???表3yi一階差商二階差商三階差商四階差商4.4572.2????5.4662.40.19822???6.6952.60.17873－0.01586??8.1982.80.16038－0.013850.00134?10.0183.00.14386－0.011940.00118－0.00009根據(jù)差商表可得的牛頓插值多項式????????????????從而可得所以應的值為??????????????????????????????反插值法還可用于方程的近似求根。對函數(shù)進行反插值，求所對應的值，即為方程的近似根。???例4?插值法的事后誤差估計???已知，試用線
7、性插值求的近似值，并估計插值誤差。???解?要用線性插值求在點的值，可取為插值節(jié)點，記線性插值式為。經(jīng)計算易得?????????????????????????????????????????但是，由于不知道的解析式，故不能直接利用拉格朗日余項式做誤差估計。為此，下面用另外一種方法來估計誤差。設以為節(jié)點的線性插值式為，則有???????????????????????????????????????????????????????????????????????其中均屬于由和所決
