奧數(shù)：第01講 計算問題第07講

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1、第01講計算問題第07講計算綜合例1計算：答案分析本題算式較為復雜，但數(shù)都不大，直接計算較為合適．詳解評注本題主要考察同學們計算繁分數(shù)的能力．計算時應注意通分、除法這些容易出現(xiàn)錯誤的地方例2計算：答案分析直接計算即可．計算過程中應注意分子、分母的變換，從最下一層開始向上計算．詳解評注本題需要同學們對連分數(shù)能正確計算，這必須在平時多加練習．例3求4、43、443…這十個數(shù)的和．答案4938271591．分析本題中的后九個數(shù)的個位數(shù)都是3，其余位上都是4．為了使所有數(shù)字一樣，后九個數(shù)均加上1，變成44、444……．化為這樣仍然不易計算，最好能化成整十整百的數(shù)．注

2、意到4、44……恰分別為9、99、的倍．而這十個數(shù)可以寫成10-1,100-1……，很容易計算．詳解評注在計算中涉及到的倍數(shù)時，不妨多往上想想，因為這個數(shù)與其他數(shù)進行運算時很方便．這題還應注意的是相同的數(shù)字的個數(shù)，當數(shù)進位和退位時相同的數(shù)字的個數(shù)都會有所變化，應小心不要寫錯．例4我們規(guī)定，符號“○”表示選擇兩個數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：3.5○2.9：2.9=2.93.5符號“△”表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算，例如：3.5○2.9=2.9○3．5=2.9．請計算：答案分析首先計算四個括號中的部分，把分數(shù)化成小數(shù)比較大小，然后再進行下一步的計算．詳解因為≈0．69

3、7，所以大于0．625，而“△”表示選擇兩數(shù)中較小的數(shù)，因此0.625△=0.625.≈0.404，所以大于0.4，而“○”表示選擇兩數(shù)中較大的數(shù)，因此○0.4=計算出括號中的部分后，就有：評注本題定義了兩個新運算．解此類題的關鍵在于正確理解定義的新運算．難以理解時可以試著將文字代入到算式中．如本題可寫為：原式=(0.625與中較小的數(shù))×(與0.4中較大的數(shù))÷[(與0.3中較大的數(shù))+(與2.25中較小的數(shù))]．例5從和式中必須去掉哪兩個分數(shù)，才能使余下的分數(shù)之和等于17答案分析先將分數(shù)化為小數(shù)以便于相加，可以看到6個分數(shù)中和化為循環(huán)小數(shù)而其他的化為有限

4、小數(shù)，故可從此入手找出答案．詳解和必須同時去掉或保留．因為若只保留一個，那么其他三個數(shù)為有限小數(shù)加上一個循環(huán)小數(shù)仍應是循環(huán)小數(shù)而不可能等于1．既然和要同時考慮，那么可以先將它們加在一起，和=．現(xiàn)在還有五個數(shù)、、、、(和的和)，要從前四個數(shù)中去掉兩個或者去掉后面那個號，使其余的和為1．很容易看出十＋=1，所以去掉的兩個數(shù)為和．評注有限小數(shù)加減有限小數(shù)結果仍然是有限的；有限小數(shù)加減無限小數(shù)得到無限小數(shù)；無限小數(shù)之間的加減結果可能是有限小數(shù)也可能是無限小數(shù)．本題當然也可以使用枚舉法，一一列出去掉的兩個分數(shù)，檢驗剩下的四個之和是否為1．為了加快計算速度，在檢驗過程中

5、可以只用小數(shù)進行估算．例6請你舉出一個例子，說明“兩個真分數(shù)的和可以是一個真分數(shù)，而且這3個分數(shù)的分母誰也不是誰的約數(shù)”．答案,本題答案不惟一．分析兩個真分數(shù)相加，通分時分母必為兩分數(shù)原分母的倍數(shù)，而和的分母不是加數(shù)分母的倍數(shù)，說明相加后分子與分母可以進行約分．按此條規(guī)則來找分數(shù)．詳解因為要進行約分，而合數(shù)比素數(shù)要容易有公因數(shù)，所以先隨意找一個分母為合數(shù)的真分數(shù)，如×10的質因數(shù)有2和5，通分時的分母也將有質因數(shù)2和5．若這時另兩個分數(shù)的分母的質因數(shù)分別有2和5，那么就可以約分．將的分子分母同乘一個不同于2、5的素數(shù)，這樣可以保證約分后分母誰也不是誰的約數(shù)，

6、如3得到素．現(xiàn)在一個分子為3，要找另兩個分子使它們分別含有質因數(shù)2和5，并且要能構成一個加式．那么很容易找到另兩個分子可以是2和5．于是有結果評注本題的答案不惟一．如在解題的最后一步找的不是2和5，而是5和8，那么可以得到算式例7已知問n的整數(shù)部分是多少?答案101．分析分式中分子與分母十分類似，所以可以考慮將分子分為兩部分，其中一部分為分母的倍數(shù)，以便于約分．詳解因此后一分數(shù)小于1，所以a的整數(shù)部分是101．評注當題目中包含較為特殊的形式時，必是有其用處的，因此要仔細思考，善加利用．如本題就不應去計算分子、分母的具體結果，而是利用分子、分母形式的相似來約分

7、化簡．例8下面是兩個1989位整數(shù)相乘：‘問：乘積的各位數(shù)字之和是多少?答案17901．分析為了計算乘積的各位數(shù)字之和，必須先知道它的各位數(shù)字是什么，這需要計算出乘積的具體結果．然而兩個1989位的數(shù)如何計算呢?對于涉及的計算，我們知道常會考慮．本題中如乘一個9，則變成=－1而容易計算．詳解在算式中乘以9，再除以9，則結果不變．因為能被9整除，所以將一個乘以9，另一個除以9，使原算式變成：得到的結果中有1980÷9=220個“123456790”和“987654320”及一個“12345678”和一個“987654321”，所以各位數(shù)字之和為：(1+2+3+

8、4+5+6+7+9)×220+(9+8+7+6+5+