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《關(guān)于新課程下“切線”的教學(xué)思考》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、2011年白云區(qū)中小學(xué)教師教學(xué)論文年會參評論文關(guān)于新課程下切線的教學(xué)思考作者：王勝鋒（數(shù)學(xué)科）單位：廣州市彭加木紀(jì)念中學(xué)關(guān)于新課程下切線的教學(xué)思考內(nèi)容摘要：本文通過對中學(xué)階段數(shù)學(xué)課本中有關(guān)于切線的內(nèi)容做了一個系統(tǒng)的分析，并對在教學(xué)過程中，學(xué)生容易出現(xiàn)的問題，作了詳細(xì)的解答。最后明確指出切線是過曲線上定點的割線的極限位置，不能簡單的從直線與曲線的交點個數(shù)來判別。關(guān)鍵詞：切線的定義割線交點的個數(shù)極限位置關(guān)于切線的教學(xué)，從初中到高中一直沒有間斷。在實際的教學(xué)中，多數(shù)學(xué)牛對切線這一概念只是停留在當(dāng)一條直線與曲線只有一個交點吋，該直線就?曲線和切“的表象認(rèn)識上，簡單地理解為直線與曲
2、線僅冇一個交點時即為切線。學(xué)生知所以產(chǎn)生如此片面的認(rèn)識，我覺得在整個中學(xué)階段沒有強化切線這一概念，關(guān)于切線最本質(zhì)的東西沒有凸現(xiàn)出來是其屮最主要的原因。在初中階段，我們對圓的切線是這樣定義的：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.根據(jù)這一定義我們町以得到直線與圓相切吋的直觀圖形，學(xué)生慢慢便會形成下面的認(rèn)識：(1)與圓只冇一個焦點的直線即是圓的切線。(2)與曲線只有一個交點的肓線即為曲線的切線。(2)是在(1)的基礎(chǔ)上進行的一個類比，它由I員1引深到了更一般的曲線，這種邏輯演繹也是我們在處理問題時常用的思維方法。到了高中，切線這一概念又經(jīng)常出現(xiàn)在各類問題小，而此吋對
3、切線的教學(xué)在必修里面是見不到的,只在選修1-1里出現(xiàn)了關(guān)于切線的定義，這難以引起學(xué)生的注意和重視。其內(nèi)容如下：如圖，當(dāng)點Pn(xn,f(xn))(n=l,2,3,4)沿著曲線y=/(x)趨近于點P(x0,/(x0))時，割線幾P趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為過點P的切線(tangentline)⑶易知，割線的斜率是k=/（￡）-心）當(dāng)點人無限趨近于點P時，心無限接近于切線的斜率，即k=lim/（兀+心）一（兀）=f，（如）,這里廠（如）是函數(shù)/（%）在兀=x（）處的導(dǎo)數(shù)。Ax這一定義是中學(xué)階段對切線所作的最明確，最具體的定義。它給出了切線的形成過程，并且指出
4、切線是經(jīng)過確定位置的肓線。但我們應(yīng)該看到在這里引入切線（tangentline）重點是了為說明導(dǎo)數(shù)的兒何意義，學(xué)牛在學(xué)習(xí)的過程中只重視結(jié)果的運用，即fW=k,具屮￡表示切線的斜率，而人人忽略了切線形成的動態(tài)過程。雖然在課木旁邊有這樣一個注釋：此處切線定義與以前學(xué)過的切線定義有什么不同？在這里學(xué)牛更多的注意還是最后的結(jié)果，即直線與Illi線只有一個交點就成切線。我們知道這種認(rèn)識太過于膚淺了，對切線這一概念的木質(zhì)沒有認(rèn)識清楚。正是因為這樣，學(xué)生碰到下列問題時，就會出現(xiàn)迷惑。（1）當(dāng)直線與曲線只冇一個交點時，該直線就是切線嗎？（2）切線都在曲線的同一側(cè)嗎？（3）是否在Illi線
5、上的任何位置都存在切線呢？（4）如果曲線是直線或折線時，它有切線嗎？耍正確認(rèn)識以上問題，必須理解切線定義的整個過程，它是割線在曲線上的極限位置。這說明它既是極限乂是位置。下面依次舉列說明這些問題，并且在每個問題里面我們都相應(yīng)地給出割線在確定切線時的變化過程。對（1）,如圖，曲線G：y=2”，與G只有一個交點肓線有無數(shù)條，顯然只有肓線L是曲線在點P的切線?？梢娭本€與曲線的交點的個數(shù)不能作為直線是不是過曲線上某點的切線的依據(jù)。3在兀=0處的切線為y=0,該切線位于曲線的兩側(cè)?？梢娗芯€并不都在］11
6、線的一側(cè)。對(3),如圖，折線C3.y=xo在兀H0處的切線與直線段部分重合，
7、此時割線與肓線段有無數(shù)個交點，即割線的極限位置與直線段部分重介,從這一點我們可以看出直線的切線,割線都與直線自身重合。當(dāng)兀＞0時，過肓線段上任何一點的切線方程為y二兀；當(dāng)兀＜0時，過肓線段上任何一點的切線方程為)=-xo這樣在x=0處的切線就存在兩條，但是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，.廠(0)=1,-1，這是不可能的。從而我們可以判定折線C3:y=x在兀=0處不存在切線。更不是有些學(xué)生認(rèn)為的，過原點的切線為y=0o對(4),如圖，1111線C4:y=0在xw/?上連續(xù)，由于廠(0_)=—8,■廠(0+)=+oo,則函數(shù)y=x3在兀=0不可導(dǎo)。但從過原點的割線上的另一個交點趨近
8、于原點吋，可以看出此時得到一-條確定的直線：兀=0,即過原點的切線。由(1)(2)(3)(4)可知，當(dāng)曲線C:y=fx)在某點可導(dǎo)時,過該點的切線才存在。反過來,過曲線上某點的切線存在，函數(shù)在該點不一定可導(dǎo)。另外，隨著曲線上點的位置的變化，切線也隨著變化，也就是說切線與位置冇關(guān)。如圖：L是過曲線上點P的切線，但此時L與1111線C有兩個交點，所以它也是曲線C的割線。綜合以上的分析，我們應(yīng)該注意到切線是過曲線上定點的割線的極限位置。整條曲線不?定都要平滑，但只要冇一段平滑，則在這段上就存在切線。在這里，直線，圓，圓錐曲線都是曲
