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1、三垂線定理aAPoα線面垂直的判定定理線線垂直線面垂直線面垂直的定義復(fù)習(xí)：什么叫平面的斜線、垂線、射影？如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？PO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;連結(jié)垂足與斜足，AO是PO在平面α內(nèi)的射影.aAPoα性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO平面PAOa⊥PO③三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線(a)，如果和這個平面的一條斜線(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和這條斜線垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥a
2、PA∩AO=A②a⊥平面PAOPaAoα已知:如圖,PO為平面α的斜線,PA⊥α,a在平面α內(nèi)且垂直PO的射影AO.求證:a⊥PO證明:直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥?時，b⊥OA如果將定理“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但b不垂直于OP思考?三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線(a)，如果和這個平面的一條斜線(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和這條斜線垂直。練習(xí)：判定下列命題是否正確(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內(nèi)
3、的射影，則a⊥b。()2°定理的關(guān)鍵找“平面的垂線”.強調(diào)：1°四線是對同一個平面而言.(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)的直線，且b垂直于a在β內(nèi)的射影，則a⊥b。()××aAPoα1、三垂線定理描述的是斜線、射影、直線之間的垂直關(guān)系.2、a與PO可以相交，也可以異面.3、三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理.說明：4、轉(zhuǎn)化思想:空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線的垂直問題.aAPoα例1、PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點，求證：PO⊥BD，
4、PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形O為BD的中點∴AO⊥BD同理，AC⊥BDAC是PC在ABCD上的射影?∴PC⊥BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵BD平面ABCD又PMCAB例2、已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BC⊥AM證明:PM⊥BC∴BC⊥AM∴PM是AM在平面PBC上的射影∴PA⊥平面PBC∵PB=PCM是BC的中點∵BC平面PBC又例3、在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中A
5、1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明：CBA1B1C1ADD1同理可證，A1C⊥B1D1由三垂線定理知A1C⊥BC1PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件PAOaα從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線第二、找射影線，
6、這時a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα已知：P
7、A，PO分別是平面?的垂線和斜線，AO是PO在平面?的射影,a??,a⊥PO求證：a⊥AO三垂線定理的逆定理例4、空間四邊形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求證：AC⊥BD。證明：過A作AO⊥平面BCD于O，連結(jié)BO，∵AB是平面BCD的斜線，∴AO是AB在面BCD內(nèi)的射影∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂線逆定理），同理可得BC⊥OD，則O為?BCD的垂心，∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC（三垂線定理）。OADBC三棱錐對棱垂直，頂點在底面上的射影是底面的垂心直線與平面所
8、成的角：PO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.aAPoα直線PO與射影AO所成的角∠POA即為直線與平面所成的角。直線與平面所成的角的范圍：[0°,90°]三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。小結(jié)三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。3°操作程序分三個步驟——“一垂二射三證”1°定理中四條線均針對同一平面而言2°應(yīng)用定理關(guān)
