垂線定理及逆定理課件曹新田

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1、9.4.4三垂線定理及逆定理(2)歲月如水流到什么地方就有什么樣的時尚我們怎能苛求世事與滄桑高2012級15班曹新田三垂線定理的逆理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直線斜垂直定理逆定理三垂線定理及逆定理涉及的幾何元素：(1)一個平面;a(2)四條直線:①平面的垂線;②平面的斜線;③斜線在平面內(nèi)的射影;④平面內(nèi)的一條直線.(3)三個垂直:①直線與平面垂直;②平面內(nèi)的一

2、條直線與斜線在平面內(nèi)的射影垂直;③平面內(nèi)的一條直線與斜線垂直.1、兩平行直線在一平面內(nèi)的射影不可能是（）A、兩平行直線B、兩點2、兩直線在平面內(nèi)的射影是兩相交直線，則這兩直線的位置關(guān)系不是（）A、兩異面直線;B、兩平行直線C、兩相交直線;D、以上都不對鞏固練習(xí)：DB3、斜線b在面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a與b（?。〢．垂直B．不一定垂直C．共面或垂直D．以上都有可能C、一條直線D、兩相交直線D例1：在空間四邊形ABCD中AB⊥CD,AH⊥平面BCD,垂足為H,求證:BH⊥CD.AB∴BH⊥CD.∵AB⊥CD.證明:∵AH⊥平面BCD，∴BH為

3、斜線AB在平面BCD上的射影.DCH平面BCD，∵CD應(yīng)用三垂線定理及逆定理證明直線垂直的步驟:“一垂”:找平面及平面的垂線“一垂二射三證明”“二射”:找斜線在平面上的射影“三證明”:用定理證明直線垂直例2：如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，AQ⊥PC，AR⊥PB，試證?PBC、?PQR為直角三角形。證明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，AC是斜線PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂線定理），∴?PBC是直角三角形；∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴

4、QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂線逆定理），∴?PQR是直角三角形。小結(jié)：凡是能夠使用三垂線定理或逆定理證明的結(jié)論，都能由線面垂直的性質(zhì)來證明，而我們的目標(biāo)應(yīng)該是能夠熟悉這兩個定理的直接應(yīng)用。例3：道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？解：在道邊取一點C，再在道邊取一點D，使水平角CDB等于45°，測得C、D的距離等于20mBAC90°D45°使BC與道邊所成水平角等于90°，BAC90°D45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD

5、⊥BC，CD=20m∴BC=20m，在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(m)答：電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。例4：直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D是BC的中點，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜線AC的距離？解：過點D作DF⊥AC于F，連結(jié)EF，∵DE⊥平面ABC，由三垂線定理知EF⊥AC，即E到斜線AC的距離為EF，在Rt?ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=2，∴BC=∵DF⊥AC，∴在Rt?EDF中為所求練習(xí)：PA⊥△ABC所在

6、平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求點P到直線BC的距離．解：設(shè)BC的中點為D，連結(jié)PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD的長度就是P到直線BC的距離．而PD＝13．小結(jié)：求點到直線的距離，常運用三垂線定理（或逆定理）把垂線段作出，按“一作、二證、三計算”的步驟求解。方法規(guī)律：三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用：（1）證明兩條異面直線垂直；（2）確定二面角的平面角；（3）確定點到直線的垂線段。運用定理時要習(xí)慣非常規(guī)位置圖形上的應(yīng)用，不能只習(xí)慣于水平放置的平面上運用。能力

7、拓展：1、如圖所示：已知直三棱柱ABC-DEF中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是CF的中點，求證AE⊥DM。證明：連結(jié)AF，∴Rt?AFC∽Rt?MDF，∴∠AFC=∠MDF，∴∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF=90°，∴DM⊥AF，又ABC-DEF為直三棱柱，∴CF⊥EF，又EF⊥DF，∴EF⊥平面AF，由三垂線定理知AE⊥DM能力拓展：2、過Rt?BPC的直角頂點P作線段PA⊥平面BPC，求證：?ABC的垂心H是P點在平面ABC內(nèi)的射影。證明：∵H是?ABC的垂心，　　　　　　　　　　連結(jié)AH延長交BC于D，　　　　

8、　　　　　　　　　連結(jié)BH延長交AC于E，　　　　　　　　∴AD⊥BC，BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD，AD