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《中考數(shù)學真題分類匯編第三期專題39開放性問題試題含解析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、開放性問題解答題1.（xx·湖北十堰·12分）已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣2，0），B（0、﹣4）與x軸交于另一點C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且S△PBO=S△PBC，求證：AP∥BC；（3）在拋物線上是否存在點D，直線BD交x軸于點E，使△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；（2）令y=0求拋物線與x軸的交點C的坐標，作△POB和△PBC的高線，根據(jù)面積相等可得O
2、E=CF，證明△OEG≌△CFG，則OG=CG=2，根據(jù)三角函數(shù)列式可得P的坐標，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)AP和BC的解析式，k相等則兩直線平行；（3）先利用概率的知識分析A，B，C，E中的三點為頂點的三角形，有兩個三角形與△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，①當△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，根據(jù)存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐標，利用待定系數(shù)法求直線BE的解析式，與拋物線列方程組可得交點D的坐標；②當△ABE與以B，C.E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，同理可得結論
3、．【解答】解：（1）把點A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入拋物線y=x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣4；（2）當y=0時，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如圖1，過O作OE⊥BP于E，過C作CF⊥BP于F，設PB交x軸于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，設P（x，x2﹣x﹣4），過P作PM⊥y軸于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式
4、為：y=x+2，BC的解析式為：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四種，其中△ABE重合，不符合條件，△ACE不能構成三角形，∴當△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似，存在兩個三角形：△ABC和△BCE，①當△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，則x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=
5、0（舍），x2=，∴D（，）；②當△ABE與以B，C.E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，∵∠BEA=∠BEC，∴當∠ABE=∠BCE時，△ABE∽△BCE，∴==，設BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB是鈍角，此時△ABE與以B，C.E中的三點為頂點的三角形不相似，如圖4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式為：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；綜
6、上，點D的坐標為（，）或（，﹣）．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、一元二次方程、三角形面積以及勾股定理，第3問有難度，確定三角形與△ABE相似并畫出圖形是關鍵．2.（xx·湖北江漢·12分）拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．（1）點A，B，D的坐標分別為?。ǎ?） ， （
7、3，0） ， （，） ；（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內(nèi)（含邊界）時，求t的取值范圍；（3）如圖②，當t=0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A.B的坐標，再利用配方法即可找出拋物線的頂點D的坐標；（2）由點D的坐標結合對稱找出點E的坐標，根據(jù)點B.C的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關于t的一元一次不等式組，解之即可得出t的取
8、值范圍；（3）假設存在，設點P的坐標為（m，0），則點Q的橫坐標為m，分m＜或m＞3及≤m≤3兩種情況，利用勾股定理找出關于m的一元二次方程，解之即可
