2015年全國中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第三期）專題39 開放性問題.doc

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1、開放性問題一、選擇題1．二、填空題1．三、解答題1．1.1.（14分）（2015?內(nèi)蒙古赤峰26，14分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D．（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣

2、3a求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線段BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進行判定即可；（3）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關(guān)系，再結(jié)合拋物線解析式即可求解．解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0）、C（0，3），∴根據(jù)題意，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）由y=﹣x2+2x+3得，D點坐標為（1，4），∴CD==，BC==3，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（3）2

3、=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=y=﹣x2+2x+3對稱軸為直線x=1．①若以CD為底邊，則PD=PC，設(shè)P點坐標為（x，y），根據(jù)兩點間距離公式，得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P點（x，y）在拋物線上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，應(yīng)舍去，∴x=，∴y=4﹣x=，即點P坐標為（，）．②若以CD為一腰，∵點P在對

4、稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關(guān)于直線x=1對稱，此時點P坐標為（2，3）．∴符合條件的點P坐標為（，）或（2，3）．點評：此題是一道典型的“存在性問題”，結(jié)合二次函數(shù)圖象和等腰三角形、直角梯形的性質(zhì)，考查了它們存在的條件，有一定的開放性．