規(guī)律探索中的常用數(shù)列

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1、規(guī)律探索中的常用數(shù)列按照某種特征有秩序排列的一些數(shù)通常稱(chēng)為數(shù)列。在圖形的計(jì)數(shù)、面積的計(jì)算、坐標(biāo)的變換等方面經(jīng)常用到數(shù)列。下面介紹幾種中學(xué)數(shù)學(xué)中常用數(shù)列及其計(jì)算方法。一、一次函數(shù)型數(shù)列。這一類(lèi)數(shù)列實(shí)際上就是等差數(shù)列，例如數(shù)列5,7,9,11,15,……。它的特點(diǎn)就是按照同種順序相鄰兩個(gè)數(shù)相減后差值相等，即7—5=9—7=11—9=13—11=15—13=?？凇挂杂靡淮魏瘮?shù)的知識(shí)解決這一類(lèi)數(shù)列的計(jì)算，其中位置號(hào)是口變量，數(shù)列屮的值是位置號(hào)的一次函數(shù)，例如：下圖是用火柴棒拼出的一列圖形，依次類(lèi)推，則第十個(gè)圖形中的火柴棒的

2、根數(shù)有—根，第n個(gè)圖形中的火柴棒的根數(shù)有—根。(1)(2)(3)⑷觀(guān)察圖形可知位置號(hào)12345火柴根數(shù)3579其中火柴根數(shù)9—7=7—5=5—3,可設(shè)第x個(gè)圖中有y根火柴棒，這時(shí)Y是位置號(hào)x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b,由x=l吋y=3,x=2時(shí)y=5可得jk+b=3解方程組得k=2,b=l,則y=2x+l。第十個(gè)〔2k+b=5圖形x=10,火柴根數(shù)y=2xl0=20o第n個(gè)圖形x=n,火柴根數(shù)y=2n+l練一練：1?一根繩了彎成如圖形狀，當(dāng)用剪刀沿一條虛線(xiàn)剪斷吋，繩子被剪成5段；沿兩條虛線(xiàn)剪斷時(shí)，繩子被剪成9段；沿

3、三條虛線(xiàn)剪斷時(shí)，繩了被剪成13段；以此方法，沿10條虛線(xiàn)剪斷時(shí)，繩了被剪成多少段？(1)(2)(3)二.二次函數(shù)型數(shù)列。這一類(lèi)數(shù)列的特征是按照同種順序相鄰兩數(shù)相減后的差值是一組等差數(shù)列，也就是按照同種順序相鄰兩數(shù)相減后的差值再相減所得差值相等。例如：數(shù)列1,3,6,10,15,21,28,o第~次和減：3—1=2,6—1=3,10—6=4,15-10=5,21-15=6,28-21=7,。差值再相減：3—2=4—3=5—4=6—5=7—6=可以用二次函數(shù)的知識(shí)解決這一類(lèi)數(shù)列的計(jì)算，其中位置號(hào)是自變量，數(shù)列中的值是位

4、置號(hào)的二次函數(shù)，例如：一條直線(xiàn)上一個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成0條線(xiàn)段，兩個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成1條線(xiàn)段，三個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成3條線(xiàn)段，四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成6條線(xiàn)段，以此類(lèi)推一百個(gè)不同的點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線(xiàn)段？(1)(2)(3)(4)觀(guān)察圖形可知由(1)到(4)中線(xiàn)段條數(shù)分別有0,1,3,6,……條,相鄰兩數(shù)的差1—0,3—1,6—3,o是一組等差數(shù)列,即0,1,3,6,第一次相減差值為1,2,3,第二次相減差值為1,1（可以簡(jiǎn)述為數(shù)值差的差相等），可設(shè)第x個(gè)圖中有y條線(xiàn)段（即X個(gè)不同的點(diǎn)可以構(gòu)成y條線(xiàn)段），則y是X的二次函數(shù)，設(shè)y=ax2+bx+c,顯

5、然x=l時(shí)y=0;x=2時(shí)y=l；x=3時(shí)y=3?代入y=ax'+bx+c可得a+b+c=O解方程組可得a=4a+2b+c=lb=-*9a+3b+c=3c=0所以y—yx,當(dāng)x=100時(shí)丫=y<1002-y<100=4950.則100個(gè)不同的點(diǎn)可以構(gòu)成4950條線(xiàn)段。練一練：2?下面是由大小相同的小正方體木塊疊放而成的圖形，第一個(gè)圖中有1個(gè)木塊，第二個(gè)圖中有6個(gè)木塊，第三個(gè)圖中有15個(gè)木塊，第四個(gè)圖中有28個(gè)木塊，按照這樣的規(guī)律擺放下去，則第七個(gè)圖中小木塊的個(gè)數(shù)是多少？（1）（2）（3）（4）三、指數(shù)函數(shù)型數(shù)列。形

6、如y=abx+c（其中a、b、c是常量，指數(shù)x是自變量）的函數(shù)稱(chēng)為指數(shù)函數(shù)。這一類(lèi)數(shù)列的特征是按照同種順序和鄰兩數(shù)的比值相等（也就是等比數(shù)列），或者按照同種順序相鄰兩數(shù)的差值的比值相等（也就是它們的差是等比數(shù)列）O例如：數(shù)列1,2,4,8,16,32,……o或者數(shù)列3,5,9,17,33,65,……?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)的知識(shí)解決這一類(lèi)問(wèn)題的有關(guān)計(jì)算。可以把位置號(hào)當(dāng)成自變量，數(shù)列中的數(shù)值是它的位置號(hào)的指數(shù)函數(shù)。例如：將一條長(zhǎng)方形的紙條對(duì)折一次可以得到1條折痕，保持折痕平行時(shí)對(duì)折兩次可以得到3條折痕，對(duì)折三次可以得到7條折

7、痕，對(duì)折四次可以得到15條折痕，則對(duì)折十次可以得到多少條折痕?(3)(1)(2)觀(guān)察圖形可知位置號(hào)(1)(2)(3)(4)折痕條數(shù)13715(4)折痕條數(shù)1,3,7,15,相鄰兩數(shù)相減3—1,7—3,15—7,殼值2,4,8是等比數(shù)列（#=

8、,可以設(shè)第x個(gè)圖中（對(duì)折x次）有y條折痕，y是x的指數(shù)函數(shù)，令y=abx+c,因?yàn)閤=l時(shí)y=l;x=2時(shí)y=3;x=3時(shí)y=7,所以可得方程組rl=ab+c消去c可得y3=ab2+cI7=ab3+cr2=ab2—ab(1)6=ab3—ab(2),(2)4-(1)消去a得(b?

9、—1)m(b—1)=3因?yàn)榕?,所以b+l=3,得出b=2,則a=l,c=—1.由此得tHy=2x—1,對(duì)折十次時(shí)x=10,折痕數(shù)y=210—1=1023條。練一練：3.下而是按規(guī)律排成的一列數(shù)，從左向右數(shù)第九個(gè)數(shù)是多少？3,5,9,17,33,65,函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)&活中變量之間的變化關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，而數(shù)列通常是按照某種規(guī)律隨位置變化的一些數(shù)值，它本身就