探索規(guī)律中求解

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1、探索規(guī)律中一類求和問題的解法同學(xué)們一定知道德國(guó)有一個(gè)數(shù)學(xué)神童，在他十歲時(shí)，小學(xué)老師出了一道算術(shù)難題：“計(jì)算1+2+3+……+100=?”.這可難為初學(xué)算術(shù)的學(xué)生，但是他卻在兒秒后將答案解了出來(lái)，他把數(shù)目一對(duì)對(duì)的湊在一起：1+100,2+99,3+98,……,49+52,50+51而這樣的組合有50組，所以答案很快的就可以求出是：101X50=5050.我想現(xiàn)在同學(xué)們一定想起他是誰(shuí)了吧？他就是德國(guó)的大數(shù)學(xué)家高斯(Gauss,1777-1855),他和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱.有很

2、多題目都與高斯做的這個(gè)求和題類似，現(xiàn)在，就讓我們來(lái)共同探索一下其中的規(guī)律.一、規(guī)律總結(jié)如果我們把高斯解的這個(gè)題一般化，那就是求1+2+3+……+n的和，把這n組和首尾的數(shù)字對(duì)應(yīng)相加，就可以得到$個(gè)(n+1),所以1+2+3+……+n=2我們還可以假設(shè)S二1+2+3+……+r),再倒過(guò)來(lái)寫一遍就是S=n+(n—1)++1,兩式相加可以得到2S=(n+1)+(n+1)++(n+1)=n(n+l)兩邊同時(shí)除以2得"040中+1)S二2即：1+2+3++n二2用類似的方法我們也可以求出：1+2+3+……+

3、(n-1)二2上面兩個(gè)公式同學(xué)們可以記住，計(jì)算時(shí)不妨直接應(yīng)用，這樣我們?cè)谔剿饕?guī)律時(shí)就可以把主要精力放在思考問題上，而不是花費(fèi)在復(fù)雜的計(jì)算上.二、典型例題例1足球比賽時(shí)要進(jìn)行單循環(huán)的淘汰賽，2個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行1場(chǎng)比賽，3個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行3場(chǎng)比賽，4個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行6場(chǎng)比賽，……，n+1個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解析：假設(shè)n+1個(gè)球隊(duì)進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為S,則可以得到球隊(duì)數(shù)比賽場(chǎng)數(shù)2133=1+246二1+2+3510=1+2+3+4615二1+2+3+4+5由規(guī)律可以得到時(shí)1個(gè)球隊(duì)需要進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為S=l+2+3+

4、……+n二2例2在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)Al,A2……An-1,An.這n個(gè)點(diǎn)一共可以構(gòu)成多少條線段？解析：點(diǎn)A1和點(diǎn)A2可以構(gòu)成線段A1A2,點(diǎn)A1和點(diǎn)A3可以構(gòu)成線段A1A3,……，點(diǎn)A1和點(diǎn)An可以構(gòu)成線段AlAn,一共是(n-1)條；點(diǎn)A2和點(diǎn)A3,點(diǎn)A2和點(diǎn)A4,……，點(diǎn)A2和點(diǎn)An,可以構(gòu)成的線段一共有(n-2)條，依次類推，n個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成的線段有：(n—l)+(n—2)++2+1二2.評(píng)注：例1中的球隊(duì)我們也可以把它看作一個(gè)一個(gè)線段上的點(diǎn)，按照例2那樣用畫弧的方法，一邊畫弧，一邊按照例1

5、那樣記數(shù)，很快就能找到答案的!其實(shí)，只要大家能夠靈活運(yùn)用所掌握的方法，探索規(guī)律的題冃也是很簡(jiǎn)單的!例3我們知道1條可以將一個(gè)平面分成2部分，2條直線可以將一個(gè)平面分成4部分，3條直線最多可以將一個(gè)平面分成7部分，4條直線最多可以將一個(gè)平面分成11部分，你能探索出n條直線最多可以將一個(gè)平面分成幾部分嗎？解析：直線條數(shù)分成的平面部分12=1+124二（1+2）+137二（1+2+3）+1411二（1+2+3+4）+1S=(l+2+3+……+n)+l二2+1例4如圖圖形編號(hào)①②③④⑤⑥三角形邊數(shù)第n個(gè)圖

6、形三角形的邊數(shù)一共有多少？n張(料+1)+n)=2解析：如果我們把后一個(gè)圖形看作是在前一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上在下面補(bǔ)充幾個(gè)三角形，那么探索起其中的規(guī)律來(lái)就很容易得到問題的答案.圖形編號(hào)三角形邊數(shù)①3②9=3+3X2=3X(1+2)③18=9+3X3=3X(1+2+3)④30=18+3X4=3X(1+2+3+4)S=3X(1+2+3+以上只是探索規(guī)律中求和的一種類型，實(shí)際上同學(xué)們只要注意總結(jié)，善于分類，深入研究，做一個(gè)有心人，你一定能夠在探索規(guī)律中有岀色表現(xiàn)的.4個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每?jī)申?duì)都要賽一場(chǎng)。

7、如果踢平，每隊(duì)各得1分，否則勝隊(duì)得3分，負(fù)分得0分。比賽結(jié)果，各隊(duì)的總得分恰好是4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)。問：輸給第一名的隊(duì)的總分是多少？A、1B、2C、3D、4E、5解答過(guò)程：—4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，共要賽6場(chǎng)，每場(chǎng)都平，6場(chǎng)共得12分；每場(chǎng)都分出勝負(fù)，6場(chǎng)共得18分，因此總分在12分-18分。四個(gè)隊(duì)的得分是連續(xù)的自然數(shù)，而1+2+3+4=10,2+3+4+5=14,3+4+5+6=18,四個(gè)隊(duì)的總得分是14分或18分，各隊(duì)的得分分別是2、3、4、5分或3、4、5、6oA得5分，B得4分，C得3分，D得2

8、分。由C得3分，可知C與A、B、D比賽均踢平；由D得2分，可知D與A、B1平1負(fù)；由A、B得分都高于3分,可知A、B各勝1場(chǎng)，又5二3+1+1,4二3+1+0,所以A1勝2平，B1勝1平1負(fù)。B的總分是4分.假設(shè)A得6分，B得5分，C得4分，D得3分，可知D與ABC都踢平，C為3+1+0B為3+1+1A得6分只能為3+3+0A勝2場(chǎng),只能勝CB,與B得分3+1+1、也與D1+1+1不符。所以4個(gè)隊(duì)得分3、4、5、6的情況不存在.五年級(jí)基礎(chǔ)篇例1.(1)有6個(gè)量杯A、B、C、D、E、