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1、6.3克拉默-拉奧（Cramer-Rao）不等式一、問題的提出二、復(fù)習(xí)無偏估計和一致估計三、有效估計四、小結(jié)一、問題的提出從前一節(jié)可以看到,對于同一個參數(shù),用不同的估計方法求出的估計量可能不相同,那么那一個估計量好壞的標準是什么?下面介紹幾個常用標準.二、復(fù)習(xí)無偏估計和一致估計(2)無偏估計的實際意義:無系統(tǒng)誤差.(1)無偏性是對估計量的一個基本而重要的要求.如果有的一列估計,滿足關(guān)系式則稱是的漸近無偏估計（量）。一個估計量如果不是無偏估計量，就稱這個估計量是有偏的，且稱為估計量的偏差。證明例1特別地:證明例2(這種方法稱為無偏化).證明
2、例3證明例40,,,1/又設(shè)其中參數(shù)其它度概率密的指數(shù)分布服從參數(shù)為設(shè)總體>q???íì>q=qqq-,00,1);(xxexp由以上兩例可知,同一個參數(shù)可以有不同的無偏估計量.無偏性雖然是評價估計量的一個重要標準,而且在許多場合是合理的,必要的。然而有時一個參數(shù)的無偏估計可能不存在，或不合理的。這些說明僅有無偏性要求是不夠的。于是，人們又在無偏性的基礎(chǔ)上增加了對方差的要求。若估計量的方差越小。表明該估計量的取值（即估計值）圍繞著待估參數(shù)的波動就越小，也就是更為理想的估計量。為此，引入最小方差無偏計。2.如例4有時對同一個參數(shù)可有多個無偏
3、估計.1.例:設(shè)總體,則就沒有無偏估計。三、有效估計由于方差是隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度,所以無偏估計以方差小者為好.證明例5(續(xù)例4)證明練習(xí)(續(xù)例3)（課本例6.10）下面討論建立一個方差下界的羅-克拉美不等式注（1）稱滿足上述兩個正則條件（1）和（2）的估計量為正規(guī)估計。（2）羅-可拉美不等式所規(guī)定的下界不是整個無偏估計類的下界，而是無偏估計類的一個子集——正規(guī)無偏估計類的下界。對于方差達到羅-可拉美不等式所規(guī)定的下界的估計，給它名稱如下：復(fù)習(xí)一致估計有時候我們不僅要求估計量有較小的方差，還希望當樣本容量n充分大時，估計量能
4、在某種意義下收斂于被估計參數(shù)，這就是所謂相合性（或一致性）概念。定義6.1設(shè)是未知參數(shù)估計序列，如果依概率收斂于，即對任意，有定理（補充）設(shè)是的一個估計量，若或則稱是的一致估計量（相合估計）。且則是的一致估計（相合估計）。證明：由于令且由定理的假設(shè)，得即是的一致估計例（補充）若總體的和存在,則樣本均值是總體均值的相合估計.解：一般地,樣本的k階原點矩是總體的k階原點矩的一致估計.由此可見,矩估計往往是一致估計.六、小結(jié)估計量的評選的三個標準無偏估計最小方差無偏估計相合估計相合性是對估計量的一個基本要求,不具備相合性的估計量是不予以考慮的.
5、由最大似然估計法得到的估計量,在一定條件下也具有相合性.估計量的相合性只有當樣本容量相當大時,才能顯示出優(yōu)越性,這在實際中往往難以做到,因此,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個標準.
