挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題.doc

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1、1.7因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題例12013年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題如圖1，已知⊙O的半徑長為3，點(diǎn)A是⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O上不同于點(diǎn)A的動點(diǎn)．（1）當(dāng)時，求AP的長；（2）如果⊙Q過點(diǎn)P、O，且點(diǎn)Q在直線AP上（如圖2），設(shè)AP＝x，QP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時（如圖3），存在⊙M與⊙O相內(nèi)切，同時與⊙Q相外切，且OM⊥OQ，試求⊙M的半徑的長．圖1圖2圖3動感體驗請打開幾何畫板文件名“13楊浦25”，拖動點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動，可以體驗到，等腰三角形QPO與等腰三角形OAP保持相似，y與x成反比例．⊙M、⊙

2、O和⊙Q三個圓的圓心距圍成一個直角三角形．請打開超級畫板文件名“13楊浦25”，拖動點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動，可以體驗到，y與x成反比例．拖動點(diǎn)P使得，拖動點(diǎn)M使得⊙M的半徑約為0.82，⊙M與⊙O相內(nèi)切，同時與⊙Q相外切．拖動點(diǎn)P使得，拖動點(diǎn)M使得⊙M的半徑約為9，⊙M與⊙O、⊙Q都內(nèi)切．思路點(diǎn)撥1．第（1）題的計算用到垂徑定理和勾股定理．2．第（2）題中有一個典型的圖，有公共底角的兩個等腰三角形相似．3．第（3）題先把三個圓心距羅列出來，三個圓心距圍成一個直角三角形，根據(jù)勾股定理列方程．滿分解答（1）如圖4，過點(diǎn)O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，O

3、A＝3，，設(shè)OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．解得．所以．（2）如圖5，聯(lián)結(jié)OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因為底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．因此，即．由此得到．定義域是0＜x≤6．圖4圖5（3）如圖6，聯(lián)結(jié)OP，作OP的垂直平分線交AP于Q，垂足為D，那么QP、QO是⊙Q的半徑．在Rt△QPD中，，，因此．如圖7，設(shè)⊙M的半徑為r．由⊙M與⊙O內(nèi)切，，可得圓心距OM＝3－r．由⊙M與⊙Q外切，，可得圓心距．在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得．解得．圖6圖7圖8考點(diǎn)伸展如圖8，在第（3）題情景下，如果⊙M

4、與⊙O、⊙Q都內(nèi)切，那么⊙M的半徑是多少？同樣的，設(shè)⊙M的半徑為r．由⊙M與⊙O內(nèi)切，，可得圓心距OM＝r－3．由⊙M與⊙Q內(nèi)切，，可得圓心距．在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．例22012年河北省中考第25題如圖1，A(－5,0)，B(－3,0)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．點(diǎn)P從點(diǎn)Q(4,0)出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個單位長的速度運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠BCP＝15°時，求t的值；（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直

5、線）相切時，求t的值．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12河北25”，拖動圓心P在點(diǎn)Q左側(cè)運(yùn)動，可以體驗到，⊙P可以與直線BC、直線DC、直線AD相切，不能與直線AB相切．答案（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)．（2）如圖2，當(dāng)P在B的右側(cè)，∠BCP＝15°時，∠PCO＝30°，；如圖3，當(dāng)P在B的左側(cè)，∠BCP＝15°時，∠CPO＝30°，．圖2圖3（3）如圖4，當(dāng)⊙P與直線BC相切時，t＝1；如圖5，當(dāng)⊙P與直線DC相切時，t＝4；如圖6，當(dāng)⊙P與直線AD相切時，t＝5.6．圖4圖5圖6例32012年無錫市中考模擬第28題如圖1，菱形ABCD的邊長為2厘米，∠D

6、AB＝60°．點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒厘米的速度沿AC向C作勻速運(yùn)動；與此同時，點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿射線作勻速運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q都停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．（1）當(dāng)P異于A、C時，請說明PQ//BC；（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運(yùn)動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點(diǎn)和2個公共點(diǎn)？圖一動感體驗請打開幾何畫板文件名“12無錫28”，拖動點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，可以體驗到，⊙P與線段BC的位置關(guān)系依次是相離沒有公共點(diǎn)，相切只有1個公共點(diǎn)，相交有2個公共點(diǎn)，相交只有1個公共點(diǎn)，線段在圓的內(nèi)部沒有公共點(diǎn)．請

7、打開超級畫板文件名“12無錫28”，拖動點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，可以體驗到，⊙P與線段BC的位置關(guān)系依次是相離沒有公共點(diǎn)，相切只有1個公共點(diǎn)，相交有2個公共點(diǎn)，相交只有1個公共點(diǎn)，線段在圓的內(nèi)部沒有公共點(diǎn)．答案（1）因為，，所以．因此PQ//BC．（2）如圖2，由PQ＝PH＝，得．解得．如圖3，由PQ＝PB，得等邊三角形PBQ．所以Q是AB的中點(diǎn)，t＝1．如圖4，由PQ＝PC，得．解得．如圖5，當(dāng)P、C重合時，t＝2．因此，當(dāng)或1＜t≤或t＝2時，⊙P與邊BC有1個公共點(diǎn)．當(dāng)＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點(diǎn)．圖2圖3圖4圖5