因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題

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1、中華考試網(wǎng)（www.examw.com）因動點(diǎn)產(chǎn)生的相切問題例12013年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題如圖1，已知⊙O的半徑長為3，點(diǎn)A是⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O上不同于點(diǎn)A的動點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求AP的長；（2）如果⊙Q過點(diǎn)P、O，且點(diǎn)Q在直線AP上（如圖2），設(shè)AP＝x，QP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)（如圖3），存在⊙M與⊙O相內(nèi)切，同時(shí)與⊙Q相外切，且OM⊥OQ，試求⊙M的半徑的長．圖1圖2圖3動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“13楊浦25”，拖動點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，等腰三角形QP

2、O與等腰三角形OAP保持相似，y與x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三個(gè)圓的圓心距圍成一個(gè)直角三角形．請打開超級畫板文件名“13楊浦25”，拖動點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，y與x成反比例．拖動點(diǎn)P使得，拖動點(diǎn)M使得⊙M的半徑約為0.82，⊙M與⊙O相內(nèi)切，同時(shí)與⊙Q相外切．拖動點(diǎn)P使得，拖動點(diǎn)M使得⊙M的半徑約為9，⊙M與⊙O、⊙Q都內(nèi)切．思路點(diǎn)撥1．第（1）題的計(jì)算用到垂徑定理和勾股定理．2．第（2）題中有一個(gè)典型的圖，有公共底角的兩個(gè)等腰三角形相似．3．第（3）題先把三個(gè)圓心距羅列出來，三個(gè)圓心距圍成一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理列方程．中華考

3、試網(wǎng)（www.examw.com）滿分解答（1）如圖4，過點(diǎn)O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，OA＝3，，設(shè)OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m)2＝32．解得．所以．（2）如圖5，聯(lián)結(jié)OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因?yàn)榈捉恰螾公用，所以△QPO∽△OAP．因此，即．由此得到．定義域是0＜x≤6．圖4圖5（3）如圖6，聯(lián)結(jié)OP，作OP的垂直平分線交AP于Q，垂足為D，那么QP、QO是⊙Q的半徑．在Rt△QPD中，，，因此．如圖7，設(shè)⊙M的半徑為r．由⊙M與⊙O內(nèi)切，，可得圓心距OM＝3－r．由⊙M與⊙Q

4、外切，，可得圓心距．在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得．解得．圖6圖7圖8中華考試網(wǎng)（www.examw.com）考點(diǎn)伸展如圖8，在第（3）題情景下，如果⊙M與⊙O、⊙Q都內(nèi)切，那么⊙M的半徑是多少？同樣的，設(shè)⊙M的半徑為r．由⊙M與⊙O內(nèi)切，，可得圓心距OM＝r－3．由⊙M與⊙Q內(nèi)切，，可得圓心距．在Rt△QOM中，由勾股定理，得．解得r＝9．例22012年河北省中考第25題如圖1，A(－5,0)，B(－3,0)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．點(diǎn)P從點(diǎn)Q(4,0)出發(fā)，沿x軸向左以每

5、秒1個(gè)單位長的速度運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠BCP＝15°時(shí)，求t的值；（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．圖1動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12河北25”，拖動圓心P在點(diǎn)Q左側(cè)運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，⊙P中華考試網(wǎng)（www.examw.com）可以與直線BC、直線DC、直線AD相切，不能與直線AB相切．答案（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)．（2）如圖2，當(dāng)P在B的右側(cè)，∠BCP＝15°時(shí)，∠PCO＝30°，；如圖3，當(dāng)P在B的左側(cè)，∠BCP＝1

6、5°時(shí)，∠CPO＝30°，．圖2圖3（3）如圖4，當(dāng)⊙P與直線BC相切時(shí)，t＝1；如圖5，當(dāng)⊙P與直線DC相切時(shí)，t＝4；如圖6，當(dāng)⊙P與直線AD相切時(shí)，t＝5.6．圖4圖5圖6中華考試網(wǎng)（www.examw.com）例32012年無錫市中考模擬第28題如圖1，菱形ABCD的邊長為2厘米，∠DAB＝60°．點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒厘米的速度沿AC向C作勻速運(yùn)動；與此同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿射線作勻速運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q都停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)P異于A、C時(shí)，請說明PQ//BC；（2）以P為圓心、P

7、Q長為半徑作圓，請問：在整個(gè)運(yùn)動過程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙P與邊BC分別有1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？圖一動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12無錫28”，拖動點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，⊙P與線段BC的位置關(guān)系依次是相離沒有公共點(diǎn)，相切只有1個(gè)公共點(diǎn)，相交有2個(gè)公共點(diǎn)，相交只有1個(gè)公共點(diǎn)，線段在圓的內(nèi)部沒有公共點(diǎn)．請打開超級畫板文件名“12無錫28”，拖動點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，⊙P與線段BC的位置關(guān)系依次是相離沒有公共點(diǎn)，相切只有1個(gè)公共點(diǎn)，相交有2個(gè)公共點(diǎn)，相交只有1個(gè)公共點(diǎn)，線段在圓的內(nèi)部沒有公共點(diǎn)．答案（1）因?yàn)?，，所以．因此PQ/

8、/BC．（2）如圖2，由PQ＝PH＝，得．解得．如圖3，由PQ＝PB，得等邊三角形PBQ．所以Q是AB的中點(diǎn)，t＝1．如圖4，由PQ＝PC，得．解得．如圖5，當(dāng)P、