重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023-2024學(xué)年高二（上）期末學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將圓一般方程配方得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定圓心坐標(biāo)得選項.【詳解】圓的方程，可化為，即，所以圓心坐標(biāo)為．故選：D2.下列直線中，傾斜角最大的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分別求出直線的傾斜角即可判斷.【詳解】可得的傾斜角為，因為的斜率為，所以直線的傾斜角為，易得直線的傾斜角為，因為直線的斜率為1，所以直線的傾斜角為，綜上，傾斜角最大的是. 故選：B.3.已知圓的圓心為，且圓與軸的交點分別為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓心在直線上，從而求出圓心坐標(biāo)，即可得到圓的半徑以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】因為圓與軸的交點分別為，所以圓心在直線上，即有，圓心，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．4.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則直線CQ與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的方法求線面角即可. 【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以.故選：B.5.已知直線：和圓：交于A，B兩點，則弦AB所對的圓心角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用幾何法求弦長，再利用余弦定理即可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以弦長，在中，由余弦定理可得： .故選：C6.折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起游于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時的中國，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支.如圖，現(xiàn)有一半徑為4的圓紙片(A為圓心，B為圓內(nèi)的一定點)，且，如圖將圓折起一角，使圓周正好過點B，把紙片展開，并留下一條折痕，折痕上到A，B兩點距離之和最小的點為P，如此往復(fù)，就能得到越來越多的折痕，設(shè)P點的軌跡為曲線C.在C上任取一點M，則△MAB面積的最大值是（）A.2B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系可得到為定值4，由橢圓定義可知點軌跡方程為橢圓，結(jié)果由橢圓性質(zhì)可得.【詳解】設(shè)點，關(guān)于“折痕”所在直線對稱，即折前點在圓上對應(yīng)的點為點.連接交“折痕”于點，則點到，兩點距離之和最小，且，所以的軌跡是以，為焦點，且長軸長為的橢圓，焦距，，故短半軸，所以面積的最大值為. 故選：D.7.已知橢圓的方程為，上頂點為，左頂點為，設(shè)為橢圓上一點，則面積的最大值為.若已知，點為橢圓上任意一點，則的最小值為（）A.2B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)面積的最大值時，直線與橢圓相切，設(shè)與直線平行的橢圓的切線方程為，與橢圓聯(lián)立得到，由面積的最大值為，求得，，由均值不等式即得解.【詳解】在橢圓中，點，則，，直線的方程為，設(shè)與直線平行的橢圓的切線方程為，由方程組得，由，得，則，兩平行線間的距離，則面積的最大值為，得，∴，∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8.設(shè)雙曲線的左、右焦點為，漸近線方程為，過直線交雙曲線左支于兩點，則的最小值為（）A.9B.10C.14D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求得，利用雙曲線的定義，通過求的最小值來求得的最小值.【詳解】雙曲線，對應(yīng)，漸近線方程為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，根據(jù)雙曲線的定義有，兩式相加得，，依題意可知直線與軸不重合，雙曲線的左焦點為，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，由，解得， 由于直線與雙曲線左支相交于兩點，所以，設(shè)，則，所以，，所以當(dāng)時，取得最小值為，所以的最小值為.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.已知點,在z軸上求一點B，使|AB|＝7，則點B的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)點B的坐標(biāo)為,根據(jù)空間兩點間距離公式列式求解.【詳解】設(shè)點B的坐標(biāo)為,由空間兩點間距離公式可得，解得或10,所以B點的坐標(biāo)為或.故選：AC.10.下列四個命題中真命題有（） A.直線在軸上的截距為B.經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示C.直線必過定點D.已知直線與直線平行，則平行線間的距離是【答案】CD【解析】【分析】利用截距的定義可判斷A選項；取點且垂直于軸的直線，可判斷B選項；求出直線所過定點的坐標(biāo)，可判斷C選項；利用兩直線平行求出的值，結(jié)合平行線間的距離公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，直線在軸上的截距為，A錯；對于B選項，過點且垂直于軸的直線方程為，不能用方程表示，B錯；對于C選項，將直線方程變形為，由可得，故直線過定點，C對；對于D選項，若直線與直線平行，則，解得，直線方程可化為，故兩平行直線間的距離為，D對.故選：CD.11.設(shè)．若，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)方程表示的曲線或函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項?！驹斀狻拷夥ㄒ唬焊鶕?jù)題意，， 于是該方程對應(yīng)的圖象是雙曲線的一部分，如圖．因此的取值位于雙曲線在點O處的切線斜率和雙曲線的漸近線斜率之間．考慮到雙曲線在點O處的切線方程，其斜率為．因此．由，可得，故C正確；由，可得，，故BD正確，A錯誤.解法二：因為，而在上單調(diào)遞增，所以．故選：BCD12.已知雙曲線C:（，），過左焦點作一條漸近線的垂線，垂足為P，過右焦點作一條直線交C的右支于A，B兩點，的內(nèi)切圓與相切于點Q，則（）A.線段AB的最小值為B.的內(nèi)切圓與直線AB相切于點C.當(dāng)時，C的離心率為2D.當(dāng)點關(guān)于點P的對稱點在另一條漸近線上時，C的漸近線方程為【答案】BD【解析】【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可判斷A ，根據(jù)雙曲線的定義和內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B，由題可得進(jìn)而可判斷C，根據(jù)條件可得漸近線與x軸的夾角為可判斷D.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，，當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，則，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當(dāng)直線與軸垂直時，的長最小，即最小值為，故A錯誤；設(shè)的內(nèi)切圓與三角形三邊的切點分別是，由切線長性質(zhì)，可得，因為，所以，所以與重合， 即的內(nèi)切圓與直線AB相切于點，故B正確；由題可知雙曲線的漸近線為，，則，由上可知，所以，所以，故C錯誤；若關(guān)于P點的對稱點在另一條漸近線上時，則漸近線與x軸的夾角為，則其漸近線方程為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為_________.【答案】####45°【解析】【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而得到直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以.故答案為：.14.橢圓上有且僅有4個不同的點滿足，其中，則橢圓C的離心率的取值范圍為________．【答案】【解析】 【分析】根據(jù)題意求出點的軌跡方程，從而圓與橢圓有四個不同的交點即可求解.【詳解】設(shè)點,由得,化簡得,依題意得圓與橢圓有四個交點，所以，即，即，所以，所以.故答案為:.15.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga，約公元前262~190年）發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點A，B，則滿足的動點M的軌跡是一個圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知，動點M滿足，則面積的最大值為_________.【答案】13【解析】【分析】根據(jù)題意求點的方程與邊，利用圓上的點到直線的最遠(yuǎn)距離為圓心到直線的距離加上半徑，即可求出邊的高，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】設(shè)點，，故點的方程為.直線的方程為圓心到直線的距離. 設(shè)點到邊的高為，的最大值為.故答案為：13.16.如圖拋物線的頂點為A，焦點為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點為B，焦點也為F，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于P、Q兩點，分別過P、Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過F的直線與封閉曲線APBQ交于C、D兩點，則下列說法正確的是______①；②四邊形MNST的面積為；③；④的取值范圍為.【答案】①②③④【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷①，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷②，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷③，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點弦的性質(zhì)可判斷④.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于由題可知，所以，，故①正確；如圖以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為， 連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故②正確；連接，因為，所以，所以，故，故③正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，，當(dāng)與重合時，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，， 當(dāng)，即時取等號，故此時；當(dāng)點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故④正確.故答案為：①②③④.【點睛】構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合拋物線定義可求解長度和角度問題，判斷①②，根據(jù)拋物線的對稱性，判斷，從而，從而判斷③，分別討論的位置，然后判斷的取值范圍，判斷④，是本題的難點.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，為直角，AB∥CD，，，，請建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個點的坐標(biāo)．【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的概念求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，． 18.圓截直線所得的弦長為，求的值【答案】【解析】【分析】先化圓標(biāo)準(zhǔn)式方程，再求圓心到直線距離，最后根據(jù)垂徑定理列方程解得結(jié)果.【詳解】因此圓心到直線距離為因為圓截直線所得的弦長為，所以【點睛】本題考查由圓弦長求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19.已知拋物線的焦點為是拋物線上一點且三角形MOF的面積為（其中O為坐標(biāo)原點），不過點M的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過點M，過點M作交PQ于點N.（1）求拋物線C的方程；（2）求證直線PQ恒過定點，并求出點N的軌跡方程.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）由題可得，利用條件可求，即得；（2）由題可設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法可得直線PQ恒過定點，然后利用條件可求點N的軌跡方程.【詳解】（1）由題意得，故，解得，故拋物線C的方程為.（2）易得，由題意可設(shè)直線PQ的方程為，，由，消去x，得， 故，因為，所以，即，整理得，即，∴，所以，所以或，當(dāng)，即時，直線PQ的方程為，此時直線過點，不合題意舍去；當(dāng)，即時，直線PQ的方程為，此時直線PQ恒過定點.設(shè)，則由，即，得，即點N的軌跡方程為.20.如圖，在四棱錐中，平面平面，且是邊長為2的等邊三角形，四邊形是矩形，，M為的中點． （1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點D到平面的距離．【答案】（1）見解析.（2）（3）【解析】【分析】（1）以點為原點，分別以直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得.（2）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值（3）利用空間向量法可點D到平面的距離.【小問1詳解】以點D為原點，分別以直線為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，可得，即,∴.【小問2詳解】設(shè)為平面的法向量，則即取得,.【小問3詳解】設(shè)點到平面的距離為,由(2)可知為平面的一個法向量， 即點到平面的距離為.21.圖1是由正三角形和正方形組成的一個平面圖形，將其沿折起使得平面底面，連結(jié)、，如圖2．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，以及面面垂直的性質(zhì)定理可知平面，最后可得線線垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面、平面的法向量，然后使用向量的夾角公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知：在正方形中，有又平而平面，平而平面平面，所以平面 又平面，所以（2）根據(jù)（1）可知：過點作軸垂直平面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，所以所以設(shè)平面的一個法向量為所以，令，所以所以平面的一個法向量為所以二面角的余弦值為【點睛】本題考查線線垂直的證明以及面面角的求法，熟練掌握線線、線面、面面之間的關(guān)系以及利用向量的方法求解線線角、線面角、面面角，屬中檔題.22.已知中心在坐標(biāo)原點，一個焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為.（1）求此橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點，且以為對角線的菱形的一個頂點為，求面積的最大值及此時直線的方程.【答案】（1）；（2）最大值1，． 【解析】【分析】（1）依題意可知，得到，設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用點差法可得到的另一個關(guān)系式，由此求得的值.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去寫出韋達(dá)定理，利用菱形和橢圓的弦長公式，求得面積的表達(dá)式，在利用二次函數(shù)最值來求得面積的最大值.【小問1詳解】設(shè)所求橢圓方程為，由題意知，①設(shè)直線與橢圓的兩個交點為，弦的中點為，由，兩式相減得：，兩邊同除以，得，即因為橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，所以，所以，，所以，即，②由①②可得，所以所求橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè),中點為，聯(lián)立，消可得：，此時，即①又，， 為對角線的菱形的一頂點為，由題意可知,即整理可得：②由①②可得，∵，設(shè)到直線的距離為，則，當(dāng)時，的面積取最大值1，此時∴直線方程為.