湖南省長沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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湖南師大附中2023-2024學(xué)年度高二第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（）A．B．C．D．3．某中學(xué)高二1班共有50名同學(xué)，其中男生30名，女生20名，采用按比例分層隨機抽樣方法，從全班學(xué)生中抽取20人測量其身高（單位：）．已知在抽取的樣本中，男生的平均身高為，女生的平均身高為，由此估計該班全體學(xué)生的平均身高約為（）A．B．C．D．4．的展開式中常數(shù)項為（）A．B．C．84D．6725．函數(shù)的極值點是（）A．B．C．D．6．如圖，在下列各正方體中，為正方體的一條對角線，、分別為所在棱的中點，則滿足的是（）A．B．C．D．7．直線的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．8．在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù) 的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，（互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1、2）；（與9互素有1、2、4、5、7、8）．記為數(shù)列的前項和，則（）A．B．C．D．二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的焦點坐標是B．雙曲線的頂點坐標是C．拋物線的準線方程是D．直線與圓相交10．已知函數(shù)，則（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的值域是C．的圖象關(guān)于點對稱D．為偶函數(shù)11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是（）A．B． C．D．12．在正方體中，，點滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當平面時，不可能垂直B．若與平面所成角為，則點的軌跡長度為C．當時，的最小值為D．當時，正方體經(jīng)過點、、的截面面積的取值范圍為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，為單位向量，且，則______．14．某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有______種（用數(shù)字作答）．15．已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積為______．16．已知雙曲線：，，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點，連接交雙曲線左支于點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，，，，，，，，…，求數(shù)列的前項和．18．（本小題滿分12分）2023年底，某商業(yè)集團總公司根據(jù)相關(guān)評分細則，對其所屬25家商業(yè)連鎖店進行了年度考核評估，將各連鎖店的評估分數(shù)按，，， 分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示．總公司還依據(jù)評估得分，將這些連鎖店劃分為、、、四個等級，等級評定標準如表所示．評估分數(shù)評定等級（1）估計該商業(yè)集團各連鎖店評估得分的第64百分位數(shù)；（2）從評估分數(shù)不小于80的連鎖店中隨機抽取2家介紹營銷經(jīng)驗，求至少抽到1家等級的概率．19．（本小題滿分12分）在直三棱柱中，，，為的中點，．求：（1）的長；（2）二面角的余弦值．20．（本小題滿分12分）在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：①線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓；②銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓．已知曲線：，，，，為曲線上不同的四點．（1）求實數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程；（2）求四邊形的最小覆蓋圓的方程；（3）求曲線的最小覆蓋圓的方程．21．（本小題滿分12分）已知橢圓：與拋物線：有公共的焦點，且拋物線的準線被橢圓截得的弦長為3．（1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的右焦點作一條斜率為的直線交橢圓于，兩點，交軸于點，為弦的中點，過點作直線的垂線交于點，問是否存在一定點，使得的長度為定值？若存在，則求出點；若不存在，請說明理由．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，證明：． 湖南師大附中2023-2024學(xué)年度高二第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號12345678答案CBDBACCA1．C【解析】由已知，，且，所以．2．B【解析】由已知，，則點的坐標是．3．D【解析】因為抽樣比例為，則樣本中男生有人，女生有人，所以樣本的平均身高為，由此估計該班全體學(xué)生的平均身高約為．4．B【解析】的展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為．5．A【解析】，令，則，得．6．C【解析】如圖，在正方體中，，，則平面，所以．同理，，所以平面．若，則平面．在A，B，D中，都與平面相交，在C中，平面．所以．7．C【解析】①當時，斜率不存在，傾斜角為；②當時，斜率，傾斜角范圍為；③當時，斜率 ，傾斜角范圍為．綜上，直線的傾斜角的取值范圍為．8．A【解析】因為與互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，共有，所以，則，于是①，②，由①②得，則，于是．二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．題號9101112答案ACBCDCDBD9．AC【解析】在橢圓中，因為，，則，且焦點在軸上，A正確．雙曲線的頂點在軸上，B錯誤．拋物線開口向左，，準線為，C正確．圓心到直線的距離，則直線與圓相切，D錯誤．10．BCD【解析】由已知，．當時，，則不單調(diào)；因為，，則的值域是；因為，則的圖象關(guān)于點對稱；為偶函數(shù)． 11．CD【解析】令，，因為，則，故在上單調(diào)遞減，因為，則，結(jié)合選項可知，，從而有，即，故A錯誤，因為，結(jié)合在上單調(diào)遞減可知，，從而有，由可得，故B錯誤；，從而有，且，即．故C正確；，從而有，即．故D正確．12．BD【解析】A選項：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的法向量為， 所以令，則，即平面的一個法向量為．若平面，則，即，，令，解得．即為中點時，有平面，且，故A錯誤；B選項：因為平面，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，于是點的軌跡長度為，故B正確；C選項：如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C錯誤；D選項：正方體經(jīng)過點、、的截面為平行四邊形，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則，，，，所以，，，，，所以點到直線的距離為，于是當時，的面積取最小值，此時截面面積為；當或1時，的面積取最大值，此時截面面積為，故D正確．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解析】由已知，，即．因為，則．14．64【解析】若選2門，則只能各選1門，有種，若選3門，則分體育類選修課選2門，藝術(shù)類選修課選1門，或體育類選修課選1門，藝術(shù)類選修課選2門，則有，綜上共有種不同的方案．15．【解析】作軸截面圖如圖．由已知，，，則，，在中，．設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等面積法，得，所以內(nèi)切球體積．16．【解析】設(shè)，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，所以，，由雙曲線的定義知，，，所以， ，又，所以，即，在中，由余弦定理知，，所以，即，整理得，，即，所以離心率．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解析】（1）當時，有，得，當時，由，得，兩式相減得，，整理得，，所以，即，當時，，滿足上式，所以，．（2）因為，，所以數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項和：．18．【解析】（1）直方圖中從左至右第一、三、四個小矩形的面積分別為0.28，0.16，0.08，則第二個小矩形的面積為．因為，則第64百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)．設(shè)第64百分位數(shù)為，則，得．所以第64百分位數(shù)估計為77.5分． （2）由直方圖知，等級的頻數(shù)為，等級的頻數(shù)為．從這6家連鎖店中任選2家，共有種選法，則．設(shè)事件“至少抽到1家等級”，因為選1家等級和1家等級的選法有種，選2家等級的選法只有1種，則．所以，即至少抽到1家等級的概率為．19．【解析】（1）以為坐標原點，，，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，則，，所以，即，解得（負值舍去），故的長為4．（2）設(shè)平面的法向量為，由題意知，則由令，可得，所以平面的一個法向量為， 易得平面的一個法向量為，則，所以二面角的余弦值為．20．【解析】（1）由題意，，由于為銳角三角形，外接圓就是的最小覆蓋圓．設(shè)外接圓方程為，則解得所以的最小覆蓋圓的方程為．（2）因為的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓，所以的最小覆蓋圓的方程為．又因為，所以點，都在圓內(nèi)．所以四邊形的最小覆蓋圓的方程為．（3）由題意，曲線為中心對稱圖形．設(shè)，則．所以，且．故，所以當時，，所以曲線的最小覆蓋圓的方程為．21．【解析】（1）拋物線：的焦點為，可得①，拋物線的準線被橢圓截得的弦長為3， 由代入橢圓方程可得，即有②，解①②可得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓方程消去可得，則，，所以，，所以，直線：③，直線的方程中，令可得，所以，因為直線，所以直線的方程為④，將③④聯(lián)立相乘得到，即，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（去掉與軸的兩個交點），所以存在定點，使得的長為定值．22．【解析】（1）由題意，因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，因為，設(shè)，則， 所以只需或解得或，所以實數(shù)的取值范圍為．（2）證明：由（1）可知，，因為有兩個極值點，，所以，是的根，則所以，因為，所以要證即證，即，即證，即證， 即證，令，即證明．令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立．