云南省開遠市第一中學校2023-2024學年高一下學期開學考試 數學 Word版含解析.docx

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開遠市第一中學校2024年春季學期高一年級開學考試數學試卷考生注意：1.本試滿分150分，考試時間120分鐘.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A.B.C.D.2.若點在角的終邊上，則（）.A.B.C.D.3.已知，，，則（）A.B.C.D.4.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度5.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝（）A.B.C.D.6.函數的零點所在的區(qū)間為（）.A.B.C.D. 7.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（）A.B.C.D.8.已知是定義在上的偶函數，且對任意，有，當時，，則下列結論錯誤的是（）A.是以4為周期周期函數BC.函數有3個零點D.當時，二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列結論正確的是（）.A.B.C.D.10.下列說法正確的是（）.A.命題“，”的否定是“，”B.命題“，”是假命題C.“”是“”的充分條件D.“”是“”的充分不必要條件11.下列命題正確的是（）A.若，，則； B.若正數a、b滿足，則；C.若，則的最大值是；D.若，，，則的最小值是9；12.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）.A.函數最小正周期為B.函數的圖象關于點對稱C.函數在上單調遞增D.恒成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.化簡：______.14.若冪函數在上單調遞增，則__________．15.已知扇形的圓心角為，弧長為，則扇形的面積為__________.16.某人在點C測得某塔底B在南偏西方向，塔頂A的仰角為，此人沿南偏東方向前進10m到D，測得塔頂A的仰角為，則塔高為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，，求實數a的取值范圍.18計算：（1）； （2）已知，求的值.19.已知函數，.（1）求函數的單調遞減區(qū)間；（2）求函數在上的值域.20.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角B的大小；（2）若，的面積為，求的值．21.已知函數，.（1）用單調性的定義證明在上是單調減函數；（2）若關于x不等式對于任意恒成立，求實數的取值范圍.22.正安縣是中國白茶之鄉(xiāng)．在飲用中發(fā)現，茶水的口感與水的溫度有關．經實驗表明，用100℃的水泡制，待茶水溫度降至60℃時，飲用口感最佳．某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數據如下表：時間012345水溫℃1009182.978.3772.5367.27設茶水溫度從100℃經過后溫度變?yōu)椤?，現給出以下三種函數模型：①；②；③．（1）從上述三種函數模型中選出最符合上述實驗的函數模型，并根據前3組數據求出該解析式；（2）根據（1）中所求函數模型，求剛泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到）；（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少．（參考數據：）開遠市第一中學校2024年春季學期高一年級開學考試數學 2024.02考生注意：1.本試滿分150分，考試時間120分鐘.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解集合A,然后進行交集補集運算即可.【詳解】集合,或,則故選：C2.若點在角的終邊上，則（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數的定義與誘導公式即可得解.【詳解】因為點在角的終邊上，所以，則.故選：A.3.已知，，，則（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用指數函數和對數函數的單調性分別判斷的范圍即可.【詳解】因為在上單調遞減，且，所以；因為在上單調遞減，且，所以；因為在上單調遞減，且，所以；所以，故選：B.4.要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】把變?yōu)榫涂梢钥闯鲈趺雌揭?【詳解】∵，∴把函數的圖象向右移個單位就可得到函數的圖象.故選D.【點睛】本題考查三角函數的圖象變換，屬于基礎題.5.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求即可.【詳解】由b2＝ac， 又c＝2a，得，由余弦定理，得cosB＝＝.故選：B.6.函數的零點所在的區(qū)間為（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數的單調性與零點存在性定理判斷即可．【詳解】因為在上都單調遞增，所以在上單調遞增，又，，即，故的零點所在區(qū)間為.故選：B.7.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由平面向量的線性運算可得，即可求出，進而求出的值.【詳解】，所以，所以，所以，.故選：D.8.已知是定義在上的偶函數，且對任意，有，當時，，則下列結論錯誤的是（）A.是以4為周期的周期函數B.C.函數有3個零點D.當時，【答案】B【解析】【分析】根據函數對稱性和奇偶性，可得的周期，即可判斷A的正誤，根據解析式及周期，代入數據，可判斷B的正誤；分別作出和的圖像，即可判斷C的正誤；根據函數周期及奇偶性，化簡整理，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因為，且為偶函數，所以，故的周期為4，故A正確．由的周期為4，則，，所以，故B錯誤； 令，可得，作函數和的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個函數圖像有3個交點，故C正確；當時，，則，故D正確．故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列結論正確的是（）.A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用向量平行與垂直的坐標表示，對選項逐一分析判斷即可得解.【詳解】因，對于AB，，則，故A正確，B錯誤；對于C，，，則，則，故C正確；對于D，，顯然，則，故不成立，故D錯誤. 故選：AC.10.下列說法正確的是（）.A.命題“，”的否定是“，”B.命題“，”是假命題C.“”是“”的充分條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】利用量詞命題的否定與真假性判斷AB，利用充分與必要條件的定義判斷CD，從而得解.【詳解】對于A，根據存在量詞命題的否定形式可知A正確；對于B，在中，，所以方程無解，故B正確；對于C，取，滿足，但，即充分性不成立，故C錯誤；對于D，因為是的真子集，所以“”是“”的充分必要不條件，故D正確.故選：ABD.11.下列命題正確的是（）A.若，，則；B.若正數a、b滿足，則；C.若，則的最大值是；D.若，，，則的最小值是9；【答案】BC【解析】【分析】A選項用作差法即可，B，C，D選項都是利用基本不等式判斷.【詳解】對于選項A，，因為，，所以，,即，故，所以A錯誤；對于選項B，因為，所以， 當且僅當，即時，等號成立，故B正確；對于選項C，因為，，當且僅當即時，等號成立，所以，故C正確；對于選項D，因為，所以，所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值是8，故D錯誤.故選：BC.12.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）.A.函數的最小正周期為B.函數的圖象關于點對稱C.函數在上單調遞增D.恒成立【答案】BCD【解析】【分析】通過觀察函數的圖象，可得函數圖象經過點，且半周期為，從而可得的解析式，再根據該正弦型函數在周期，對稱性，單調性和給定區(qū)間上的值域分別判斷即可得解. 【詳解】因為，由的圖象知其經過點，故得，即，因，則，故，又圖象經過點，則，所以或，解得或（*），由三角函數圖象的對稱性可知，該函數的周期滿足，即得，解得，滿足（*），故；對于A，因周期，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，當時，，此時為增函數，故C正確；對于D，令，則當時，，則在上單調遞減，故有，此時有，故D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：已知部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數和，常用如下兩種方法：（1）由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標，則令（或），即可求出.（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或零點）坐標代入解析式，再結合圖形解出和 ，若對A，的符號或對的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.化簡：______.【答案】【解析】【分析】根據向量的線性運算求解.【詳解】，故答案為：14.若冪函數在上單調遞增，則__________．【答案】【解析】【分析】利用冪函數的定義求出或，再利用單調性檢驗即可.【詳解】因為是冪函數，所以，解得或，時在上單調遞減，不合題意；時在上單調遞增，符合題意，所以，故答案為：.15.已知扇形圓心角為，弧長為，則扇形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據扇形的弧長公式及面積公式求解.【詳解】由可知，，所以扇形面積， 故答案為：16.某人在點C測得某塔底B在南偏西方向，塔頂A的仰角為，此人沿南偏東方向前進10m到D，測得塔頂A的仰角為，則塔高為_________.【答案】10m【解析】【分析】根據題意作出示意圖，設出塔高，從而用表示出，再利用余弦定理得到關于的方程，解之即可得解.【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示，設塔高為，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去）．故答案為：10m.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，，求實數a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用集合的并集運算即可得解； （2）先根據題意得到，再分析得，從而利用集合的包含關系即可得解.小問1詳解】因為，，所以；【小問2詳解】因為，所以，又，因為，恒成立，故，則，解得，所以實數的取值范圍是.18.計算：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對數的運算法則即可得解；（2）利用三角函數的齊次式法求得，進而得解.【小問1詳解】；【小問2詳解】因為，解得，所以 .19.已知函數，.（1）求函數的單調遞減區(qū)間；（2）求函數在上的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，再利用整體代入法即可得解；（2）由定義區(qū)間和函數解析式，結合正弦函數的性質即可得解.【小問1詳解】，由，解得，所以函數的單調遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因為，則，所以，故，所以函數在上的值域為.20.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角B的大??；（2）若，的面積為，求的值． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡式子得到答案.（2）利用余弦定理和面積公式得到方程組，解得答案.【詳解】解：（1）因為所以所以∴∴（2）由得．由余弦定理得∴【點睛】本題考查余弦定理以及正弦定理的應用，三角形的解法，考查計算能力．21.已知函數，.（1）用單調性的定義證明在上是單調減函數；（2）若關于x的不等式對于任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）直接利用函數單調性的定義證明；（2）根據恒成立要求，分離參數，根據函數的單調性求最小值，求解即可【小問1詳解】任取，且，則，又，， ，，，即，在上是單調減函數．【小問2詳解】上單調遞減且恒有，不等式對于任意恒成立，即為，對于任意恒成立，令，當時取得最小值，，所以的取值范圍是．22.正安縣是中國白茶之鄉(xiāng)．在飲用中發(fā)現，茶水的口感與水的溫度有關．經實驗表明，用100℃的水泡制，待茶水溫度降至60℃時，飲用口感最佳．某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數據如下表：時間012345水溫℃1009182.978.3772.5367.27設茶水溫度從100℃經過后溫度變?yōu)椤?，現給出以下三種函數模型：①；②；③．（1）從上述三種函數模型中選出最符合上述實驗的函數模型，并根據前3組數據求出該解析式；（2）根據（1）中所求函數模型，求剛泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到）；（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少．（參考數據： ）【答案】（1）選模型②，且；（2）；（3）約為10℃.【解析】【分析】（1）根據表格數據判斷函數的單調性及增長率，根據一次函數、指對數函數性質確定模型，再結合數據求解析式；（2）令，利用指對數關系及對數運算性質求結果；（3）根據指數函數性質求函數的值域，即可確定進行實驗時的室溫.【小問1詳解】由表格數據知：函數單調遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，即，可得，所以且.【小問2詳解】令，則.所以泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間為.【小問3詳解】由，即，所以進行實驗時的室溫約為10℃.