云南省開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校2024年春季學(xué)期高一年級(jí)開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.2.若點(diǎn)在角的終邊上，則（）.A.B.C.D.3.已知，，，則（）A.B.C.D.4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度5.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝（）A.B.C.D.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）.A.B.C.D. 7.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（）A.B.C.D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.是以4為周期周期函數(shù)BC.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）.A.B.C.D.10.下列說法正確的是（）.A.命題“，”的否定是“，”B.命題“，”是假命題C.“”是“”的充分條件D.“”是“”的充分不必要條件11.下列命題正確的是（）A.若，，則； B.若正數(shù)a、b滿足，則；C.若，則的最大值是；D.若，，，則的最小值是9；12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）.A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.恒成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.化簡(jiǎn)：______.14.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則__________．15.已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則扇形的面積為__________.16.某人在點(diǎn)C測(cè)得某塔底B在南偏西方向，塔頂A的仰角為，此人沿南偏東方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高為_________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18計(jì)算：（1）； （2）已知，求的值.19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的值域.20.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角B的大??；（2）若，的面積為，求的值．21.已知函數(shù)，.（1）用單調(diào)性的定義證明在上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若關(guān)于x不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.正安縣是中國(guó)白茶之鄉(xiāng)．在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān)．經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，用100℃的水泡制，待茶水溫度降至60℃時(shí)，飲用口感最佳．某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間012345水溫℃1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從100℃經(jīng)過后溫度變?yōu)椤?，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③．（1）從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到）；（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少．（參考數(shù)據(jù)：）開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校2024年春季學(xué)期高一年級(jí)開學(xué)考試數(shù)學(xué) 2024.02考生注意：1.本試滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解集合A,然后進(jìn)行交集補(bǔ)集運(yùn)算即可.【詳解】集合,或,則故選：C2.若點(diǎn)在角的終邊上，則（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以，則.故選：A.3.已知，，，則（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷的范圍即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以；所以，故選：B.4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】把變?yōu)榫涂梢钥闯鲈趺雌揭?【詳解】∵，∴把函數(shù)的圖象向右移個(gè)單位就可得到函數(shù)的圖象.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.5.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosB＝（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求即可.【詳解】由b2＝ac， 又c＝2a，得，由余弦定理，得cosB＝＝.故選：B.6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理判斷即可．【詳解】因?yàn)樵谏隙紗握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，即，故的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.7.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由平面向量的線性運(yùn)算可得，即可求出，進(jìn)而求出的值.【詳解】，所以，所以，所以，.故選：D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.是以4為周期的周期函數(shù)B.C.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和奇偶性，可得的周期，即可判斷A的正誤，根據(jù)解析式及周期，代入數(shù)據(jù)，可判斷B的正誤；分別作出和的圖像，即可判斷C的正誤；根據(jù)函數(shù)周期及奇偶性，化簡(jiǎn)整理，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，所以，故的周期為4，故A正確．由的周期為4，則，，所以，故B錯(cuò)誤； 令，可得，作函數(shù)和的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則，故D正確．故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）.A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用向量平行與垂直的坐標(biāo)表示，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得解.【詳解】因，對(duì)于AB，，則，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則，則，故C正確；對(duì)于D，，顯然，則，故不成立，故D錯(cuò)誤. 故選：AC.10.下列說法正確的是（）.A.命題“，”的否定是“，”B.命題“，”是假命題C.“”是“”的充分條件D.“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】利用量詞命題的否定與真假性判斷AB，利用充分與必要條件的定義判斷CD，從而得解.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)存在量詞命題的否定形式可知A正確；對(duì)于B，在中，，所以方程無解，故B正確；對(duì)于C，取，滿足，但，即充分性不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“”的充分必要不條件，故D正確.故選：ABD.11.下列命題正確的是（）A.若，，則；B.若正數(shù)a、b滿足，則；C.若，則的最大值是；D.若，，，則的最小值是9；【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)用作差法即可，B，C，D選項(xiàng)都是利用基本不等式判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，因?yàn)?，，所以?即，故，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是8，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）.A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.恒成立【答案】BCD【解析】【分析】通過觀察函數(shù)的圖象，可得函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，且半周期為，從而可得的解析式，再根據(jù)該正弦型函數(shù)在周期，對(duì)稱性，單調(diào)性和給定區(qū)間上的值域分別判斷即可得解. 【詳解】因?yàn)椋傻膱D象知其經(jīng)過點(diǎn)，故得，即，因，則，故，又圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，所以或，解得或（*），由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，該函數(shù)的周期滿足，即得，解得，滿足（*），故；對(duì)于A，因周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，令，則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故有，此時(shí)有，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：（1）由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令（或），即可求出.（2）代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)（最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或零點(diǎn)）坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和 ，若對(duì)A，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.化簡(jiǎn)：______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】，故答案為：14.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則__________．【答案】【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義求出或，再利用單調(diào)性檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，時(shí)在上單調(diào)遞減，不合題意；時(shí)在上單調(diào)遞增，符合題意，所以，故答案為：.15.已知扇形圓心角為，弧長(zhǎng)為，則扇形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式求解.【詳解】由可知，，所以扇形面積， 故答案為：16.某人在點(diǎn)C測(cè)得某塔底B在南偏西方向，塔頂A的仰角為，此人沿南偏東方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔高為_________.【答案】10m【解析】【分析】根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)出塔高，從而用表示出，再利用余弦定理得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】由題意作出圖形，如下圖所示，設(shè)塔高為，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去）．故答案為：10m.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合.（1）求；（2）若集合，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用集合的并集運(yùn)算即可得解； （2）先根據(jù)題意得到，再分析得，從而利用集合的包含關(guān)系即可得解.小問1詳解】因?yàn)椋?，所以；【小?詳解】因?yàn)?，所以，又，因?yàn)?，恒成立，故，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.計(jì)算：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；（2）利用三角函數(shù)的齊次式法求得，進(jìn)而得解.【小問1詳解】；【小問2詳解】因?yàn)?，解得，所?.19.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再利用整體代入法即可得解；（2）由定義區(qū)間和函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，故，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?20.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角B的大??；（2）若，的面積為，求的值． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)式子得到答案.（2）利用余弦定理和面積公式得到方程組，解得答案.【詳解】解：（1）因?yàn)樗运浴唷啵?）由得．由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的解法，考查計(jì)算能力．21.已知函數(shù)，.（1）用單調(diào)性的定義證明在上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）根據(jù)恒成立要求，分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最小值，求解即可【小問1詳解】任取，且，則，又，， ，，，即，在上是單調(diào)減函數(shù)．【小問2詳解】上單調(diào)遞減且恒有，不等式對(duì)于任意恒成立，即為，對(duì)于任意恒成立，令，當(dāng)時(shí)取得最小值，，所以的取值范圍是．22.正安縣是中國(guó)白茶之鄉(xiāng)．在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān)．經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，用100℃的水泡制，待茶水溫度降至60℃時(shí)，飲用口感最佳．某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間012345水溫℃1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從100℃經(jīng)過后溫度變?yōu)椤?，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③．（1）從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到）；（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少．（參考數(shù)據(jù)： ）【答案】（1）選模型②，且；（2）；（3）約為10℃.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及增長(zhǎng)率，根據(jù)一次函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定模型，再結(jié)合數(shù)據(jù)求解析式；（2）令，利用指對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求結(jié)果；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的值域，即可確定進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫.【小問1詳解】由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，即，可得，所以且.【小問2詳解】令，則.所以泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為.【小問3詳解】由，即，所以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為10℃.