十二大考點+真題模擬題練選填03平面向量（解析版）.docx

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選填03平面向量【考點01基底拆分】【例1】在中，點滿足，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平面向量的加減法則，根據(jù)向量定比分點代入化簡即可得出結(jié)果.【詳解】如下圖所示：60 易知；即可得.故選：C【例2】在中，，D為AB的中點，，P為CD上一點，且，則（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】由中點可知，根據(jù)模長關系可得，設，結(jié)合平面向量的線性運算以及基本定理可得，用表示，結(jié)合模長運算求解.【詳解】因為D為AB的中點，則，可得，即，解得，又因為P為CD上一點，設，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.【點睛】關鍵點睛：1.根據(jù)模長關系可得；60 2.設，根據(jù)平面向量基本定理求得；3.以為基底表示，進而運算求解.【變式1-1】在中，點D在邊AB上且滿足，E為BC的中點，直線DE交AC的延長線于點F，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)A，C，F(xiàn)三點共線及D，E，F(xiàn)三點共線，結(jié)合平面向量基本定理用和表示出，然后根據(jù)向量相等即可得解．【詳解】??由題，A，C，F(xiàn)三點共線，則，D，E，F(xiàn)三點共線，則，∴　，得　，∴．故選：B.【變式1-2】已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】設，設，，利用向量的基本定理可得，求得，從而問題可解.60 【詳解】??設，則，，設，，則，，因為，所以，解得，所以，即.故選：C.【變式1-3】已知，，是直線上不同的三點，點在外，若，則（????）A．3B．2C．D．【答案】A【分析】利用平面向量基本定理解題即可.【詳解】由已知得，故，易知，，是直線上不同的三點，故，，三點共線，必有，解得，故選：A【考點02向量共線問題】【例3】已知平面向量，，則“”是“存在，使得”的（????）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用向量共線的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.60 【詳解】當，時，滿足，但不存在，使得；當時，可得；所以“”是“存在，使得”的必要不充分條件.故選：A【例4】已知向量，，若，則（????）A．B．C．7D．8【答案】A【分析】利用向量的坐標運算及向量共線的坐標表示求出，再利用數(shù)量積的坐標表示計算即得.【詳解】由向量，，得，由，得，解得，于是，所以.故選：A【變式2-1】已知向量，，若與反向共線，則的值為（????）A．0B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算，求得參數(shù)，再結(jié)合向量線性運算的坐標運算求模長即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，解得或；當時，與共線同向，故舍去；當時，，，.故選：C.【變式2-2】如圖所示，O點在內(nèi)部，分別是邊的中點，且有，則的面積與的面積的比為（????）A．B．C．D．【答案】A60 【分析】由題意可知三點共線，且，再由三角形面積公式即可求解.【詳解】由可得，又因為分別是邊的中點，所以，，所以，即，所以三點共線，且，所以到的距離與到的距離之比也為，又的面積與的面積都以為底，所以的面積與的面積的比為．故選：A【變式2-3】如圖，在中，，P為CD上一點，且滿足，則m的值為．【答案】【分析】改為向量的終點在同一直線上，再利用共線定理的推論即可得到參數(shù)的方程，解之即可.【詳解】因為，即，所以,又所以，解得.故答案為：.【考點03求數(shù)量積】60 【例5】已知圓的方程為，直線過點且與圓交于兩點，當弦長最短時，（????）A．B．C．4D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當最短時，直線，然后再結(jié)合向量的數(shù)量積，從而得到結(jié)果.【詳解】當最短時，直線，，.故選：B.【例6】已知滿足，，O為的平分線與邊BC的垂直平分線的交點，，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先通過轉(zhuǎn)化法求得，再求出的余弦值，最后利用二倍角余弦公式和數(shù)量積定義即可得到答案.【詳解】設BC的中點為M，則．設，則，60 又，所以，，則．故選：C．??【變式3-1】已知在上的投影向量的坐標為，，則．【答案】或56【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算結(jié)合投影向量的概念即可得結(jié)果.【詳解】，因為在上的投影向量的坐標為，所以，所以當時，，當時，，所以或56．故答案為：或56.【變式3-2】是拋物線上異于坐標原點的一點，點在軸上，，為該拋物線的焦點，則（????）A．12B．11C．10D．9【答案】D【分析】設，，根據(jù)，由向量垂直的坐標表示可得，然后代入化簡可得.【詳解】依題意可得.設，，則，60 因為，所以，因為，所以，即，所以.故選：D【變式3-3】已知圓的半徑為2，弦的長為，若，則（????）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，可求出與的夾角，再利用平面向量的數(shù)量積，從而求解.【詳解】如圖，設的中點為，連接，則.由，，得，所以，，所以，所以，所以，所以.故選：B.??????【考點04求向量的?！俊纠?】已知向量，滿足，，，則（????）A．3B．15C．-3或15D．3或15【答案】D60 【分析】對兩邊同時平方，將代入可求出的值，可求出，代入即可得出答案.【詳解】因為向量，所以，又，解得:或，即或，所以當時，；當時，，故或15．故選：D.【例8】（多選）已知三個平面向量兩兩的夾角相等，且，則（????）A．2B．4C．D．【答案】BD【分析】因為平面向量兩兩夾角相等，即兩兩夾角為或，當兩兩夾角為時，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計算即可.【詳解】因為平面向量兩兩夾角相等，即兩兩夾角為或．當兩兩夾角為時，；當兩兩夾角為時，，則．綜上，或，故選：BD．【變式4-1】已知，為非零向量，且，向量在向量上的投影向量為，則60 的模為．【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出向量與向量夾角，再對向量平方求值，求得的模.【詳解】解析：，為非零向量，由，設向量與向量的夾角為，因為向量在向量上的投影向量為，又因為，所以則所以故答案為：.【變式4-2】已知向量，滿足，，，則.【答案】【分析】由向量的和與差的模的運算得：，則，所以由可得解.【詳解】因為向量，滿足，，，所以，又，，所以.故答案為：.【變式4-3】已知兩個向量，則當取得最小值時，.【答案】【分析】由，可求出，則，當時，即可求出60 的最小值.【詳解】由題意可得，則，所以，所以，取得最小值.故答案為：.【考點05求向量的夾角】【例9】已知非零向量與滿足，若，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用向量數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合已知及數(shù)量積定義求夾角余弦值.【詳解】因為，所以，所以，而，所以，所以.故選：B【例10】已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（????）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量的夾角為鈍角，由且與不共線求得的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷..【詳解】由已知可得，由可得，解得，所以由與的夾角為鈍角可得解得，且.因此，當時，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當與的夾角為鈍角時，，且，即成立，則必要性成立.綜上所述，“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.60 故選：B．【變式5-1】已知向量，且與的夾角為，，向量與的夾角為，則（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】由題意，，然后由模長公式、數(shù)量積的運算公式分別表示出，最終列出方程求解即可.【詳解】由題意，而，，又向量與的夾角為，所以，即,又，所以解得.故選：A.【變式5-2】在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中點，N在BC上，且，則（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】解法一??建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，從而求出，的坐標，最后利用向量的夾角公式即可得解；解法二??以，為基底，通過向量的線性運算用基底將，表示出來，再利用向量的夾角公式即可得解．【詳解】解法一??如圖，建立平面直角坐標系，則，，，，∴，，∴，∴，則，∴，故選：A．60 ??解法二??設，，則，，，，，∴，，，∴，故選：A．【變式5-3】若向量，，且，則．【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運算律可得，求得，進而求夾角余弦值.【詳解】因為，則，兩邊平方得，即，整理得，可得，所以.故答案為：.【考點06求投影向量】【例11】已知，，若，則在上的投影向量為（?????）A．B．C．D．60 【答案】D【分析】借助平面向量的數(shù)量積公式與投影向量公式計算即可得.【詳解】.故選：D.【例12】已知非零且不垂直的平面向量，滿足，若在方向上的投影與在方向上的投影之和等于，則，夾角的余弦值的最小值為．【答案】【分析】利用基本不等式求出，再根據(jù)向量投影求出，求出夾角的余弦值的最小值.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號．設，的夾角為，則由題意得，易知，且，則，所以，所以，夾角的余弦值的最小值為．故答案為：【變式6-1】已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（????）A．B．C．3D．760 【答案】B【分析】根據(jù)已知結(jié)合投影向量的概念得出，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，在上的投影向量為，又在上的投影向量，所以，所以，所以，所以.故選：B.【變式6-2】已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則實數(shù)的值為（???）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可．【詳解】由已知得，，向量在向量上的投影向量為，整理得，即，解得．故選：C．【變式6-3】在矩形中，，，，則向量在向量方向上的投影為．【答案】/【分析】建立平面直角坐標系，寫出相關點的坐標，寫出與的坐標，求得與，最后利用向量投影公式求解即可．【詳解】以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，60 則，，，，則，，，向量在向量方向上的投影為．故答案為：.【考點07坐標法求最值范圍】【例13】設向量、、滿足，，，，則的最大值等于（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】不妨設，，，由已知條件可得出，則的幾何意義是圓上的點到原點的距離，且原點也在圓上，由此可得出的最大值.【詳解】向量、、滿足，，，不妨設，，，則，因為，整理可得，的幾何意義是圓上的點到原點的距離，而原點也在圓上，所以，的最大值為圓的直徑長，故.故選：A.【例14】如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點分別在上，且60 ，點是圓弧上的動點（包括端點），則的最小值為（????）??A．B．C．D．【答案】A【分析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設，則，利用平面向量的坐標運算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系??則，設，則，所以，因為，所以，又，則，所以，當且僅當時，等號成立則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.故選：A.【變式7-1】已知，若動點滿足，則的最大值是（????）A．18B．9C．3D．【答案】A【分析】設，根據(jù)距離公式得到的軌跡方程，方法一：根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到60 ，根據(jù)的取值范圍求出的最大值；方法二：設線段的中點為，則，再求出，即可得解.【詳解】設，因為，所以，化簡得，法一：因為，，所以，又，所以，即的最大值為.法二：設線段的中點為，則，因為，又，所以的最大值為.故選：A.【變式7-2】如圖，在四邊形中，已知，點在邊上，則的最小值為.60 【答案】/【分析】解法一，設，運用向量線性運算及數(shù)量積運算可得，（），轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的最值即可，解法二、解法三，建立不同平面直角坐標系，運用向量坐標運算及二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解法一：由，，得，所以，，則，設，則，所以，當且僅當時，取得最小值.解法二：由，得，所以，，如圖，建立平面直角坐標系，??60 則，，所以.設，則，所以，所以，，則，當且僅當時，取得最小值.解法三：由，得，所以，，，如圖，分別以所在的直線為軸、軸建立平面直角坐標系，??則.因為點在邊上，所以設，所以，所以，當且僅當時，取得最小值.故答案為：.60 【變式7-3】在平面四邊形中，，，向量在向量上的投影向量為，則；若，點為線段上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以點為坐標原點，為軸建立直角坐標系，利用坐標法求出的最小值.【詳解】過點作垂直于點，則向量為向量在向量上的投影向量，由題意知點為線段的中點，所以，所以，又為銳角，故.以點為坐標原點，為軸建系如圖，則，，.因為，所以.因為點為線段上的動點，所以設，故點.，.當時，取到最小值.故答案為：；.??【考點08三角換元求最值范圍】【例15】窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術.圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點P在圓О上運動，則的最小值為（????）60 A．-1B．-2C．1D．2【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，設點，利用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖以為坐標原點，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標系，設點，由題意知，，，則，，所以，當，即時取最小值，故選：D.【例16】已知正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，點M是圓上的一動點，則的取值范圍是（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系：設，利用坐標表示，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：60 則，設，則所以，因為，所以，即，故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?，設，由數(shù)量積坐標運算轉(zhuǎn)化.【變式8-1】如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為；若是圓上的動點，則的取值范圍是.??【答案】1【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可求解空1，利用向量的坐標運算即可由三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】取中點為，由于正六邊形的邊長為2，所以,因此到線段的距離為,建立如圖所示的直角坐標系，則,，，60 由于,故，故答案為：1；??【變式8-2】已知正方形的邊長為，動點在以為圓心且與相切的圓上，則的取值范圍是．【答案】【分析】建立平面直角坐標系，設，利用向量數(shù)量積的坐標運算、三角恒等變換、三角函數(shù)值域等知識求得的取值范圍.【詳解】以點為圓心，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，圓的半徑為，∴設，∴，∴，當時，取最小值，當時，取最大值4.故的取值范圍為．故答案為：??60 【變式8-3】設點Q在半徑為1的圓P上運動，同時，點P在半徑為2的圓O上運動．O為定點，P，Q兩點的初始位置如圖所示，其中，當點P轉(zhuǎn)過角度時，點Q轉(zhuǎn)過角度，則在運動過程中的取值范圍為．??【答案】【分析】建立直角坐標系，由向量的坐標運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設，則，，由于,所以，故，故的取值范圍為，故答案為：??【考點09“四心”問題（一）——重心與垂心】【例17】已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（????）A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心60 【答案】C【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，故點P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.【例18】是所在平面上一點，若，則是的（????）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】D【分析】利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)推導出，進一步可得出，，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，則，所以，，同理可得，，故是的垂心.故選：D.【變式9-1】如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點（點M，N與點B，C不重合），設，，則的最小值為（????）??A．2B．C．4D．60 【答案】C【分析】重心為三角形三條中線的交點，利用重心分線段為2：1的性質(zhì)結(jié)合三點共線得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用代入解題即可.【詳解】因為G為重心，所以，所以有，因為三點共線，所以，即，即，所以，當且僅當，即時取得等號，所以最小值為4.故選：C【變式9-2】已知H為的垂心，若，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】，，利用、得，，解得，再利用平方共線可得答案.【詳解】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．60 故選：C．【變式9-3】在平行四邊形中，為的重心，，則．【答案】/【分析】設與相交于點，結(jié)合已知、向量加法及數(shù)乘的幾何意義用表示即可得結(jié)果.【詳解】如圖，設與相交于點，又為的重心，所以為的中點，，則，則，故．??故答案為：【考點10“四心”問題（二）——內(nèi)心與外心】【例19】在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為，，，，若（其中），當取最大值時，（????）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用的重心、外心、垂心、內(nèi)心的位置特征，結(jié)合向量的線性運算，求出并比較大小.【詳解】直角三角形中，，為中點，的重心為，如圖所示，??60 ，則，；直角三角形中，，的外心為，則為中點，如圖所示，??，則，；直角三角形中，，的垂心為，則與點重合，，則，；直角三角形中，，的內(nèi)心為，則點是三角形內(nèi)角平分線交點，??直角三角形中，角的對邊分別為，設內(nèi)切圓半徑為，則，得，，，.最大，所以當取最大值時，.故選：B.【例20】在中，設，那么動點的軌跡必通過的（????）A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心【答案】D【分析】設線段的中點為，推導出，結(jié)合外心的定義可得出結(jié)論.【詳解】設線段的中點為，則、互為相反向量，所以，，因為，即，60 所以，，即，即，即，所以，垂直且平分線段，因此動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.故選：D.【變式10-1】已知點O為所在平面內(nèi)一點，在中，滿足，，則點O為該三角形的（????）A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】B【分析】由，利用數(shù)量積的定義得到，從而得到點O在邊AB的中垂線上，同理得到點O在邊AC的中垂線上判斷.【詳解】解：根據(jù)題意，，即，所以，則向量在向量上的投影為的一半，所以點O在邊AB的中垂線上，同理，點O在邊AC的中垂線上，所以點O為該三角形的外心．故選：B．【變式10-2】O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（????）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，60 則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B【變式10-3】在中，，，，為中點，為的內(nèi)心，且，則（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】由題得，建立直角坐標系，求出，即得解.【詳解】如圖所示，因為,所以.所以內(nèi)切圓的半徑為，所以點，所以，所以，所以.所以.故選：A【考點11極化恒等式】【例21】如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動點（包含端點），為60 的中點．將線段繞著點旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（　　）??A．B．C．D．【答案】D【分析】利用轉(zhuǎn)化法，將轉(zhuǎn)化為或，進而求得的最小值.【詳解】解法一：連接，則，當時，最小，即，結(jié)合，得的最小值為．解法二（極化恒等式法）：依題意，為線段的中點，則,由于，，所以的最小值為．故選:D??【例22】已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點，P是圓O60 所在平面上任意一點，則(＋)的最小值為（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用極化恒等式求解即可.【詳解】取OC中點D，由極化恒等式得又，∴的最小值為．故選:C.【變式11-1】向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點，，，則（????）A．32B．-32C．16D．-16【答案】D【分析】由題設有，代入極化恒等式求即可.【詳解】由題設，，，.故選：D【變式11-2】已知正方形的邊長為2，為對角線的交點，動點在線段上，點關于點60 的對稱點為點，則的最大值為．【答案】1【分析】法一建立直角坐標系，用坐標計算的最值；法二用極化恒等式得，當時最小，從而最大.【詳解】法一：以為坐標原點，為軸正半軸建立平面直角坐標系，設，則，，所以，當且僅當時取得最大值．??法二：由極化恒等式可得：，當時，此時的最大值為1．??【點睛】【變式11-3】如圖，已知M，N是邊BC上的兩個三等分點，若，，則=．【答案】-4【分析】利用向量數(shù)量積的極化恒等式求解【詳解】取MN中點E，由向量數(shù)量積的極化恒等式，∴，60 ∴，∴．故答案為：-4.【考點12向量與恒成立問題】【例23】已知向量，，其中.若，則當恒成立時實數(shù)的取值范圍是（????）A．或B．或C．D．【答案】B【分析】先求出向量的模，然后由數(shù)量積定義結(jié)合三角函數(shù)有界性可得的最大值，然后可解.【詳解】由題知，，所以，當同向時等號成立，所以，要使恒成立，只需，解得或.故選：B【例24】中，為邊的中點，為線段上的任意一點（不含），且，（為正實數(shù)），若恒成立，則實數(shù)的最大值為（????）A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】化簡，根據(jù)點共線，求得，且，得到，結(jié)合基本不等式求得的最小值，進而求得的最大值.【詳解】因為中，為邊的中點，可得，又因為點共線，則，且，所以，當且僅當，即，時，等號成立，又由恒成立時，，所以的最大值為.60 故選：D.【變式12-1】已知單位向量，，若對任意實數(shù)，恒成立，則向量，的夾角的取值范圍為（????）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積與模長的關系，結(jié)合一元二次不等式恒成立的解法計算即可.【詳解】設向量，的夾角為，因為，所以，則，即恒成立.所以，解得，因為，所以，故，的夾角的取值范圍是.故選：A.【變式12-2】已知P是圓C：外一動點，過點P作圓C的切線，切點分別為A，B，總有△為正三角形，當點P運動時，直線l:上存在兩點M、N，使得恒成立，則線段MN長度的最大值是．【答案】2【分析】由已知得，點的軌跡為以點為圓心，為2半徑的圓上，要使恒成立，則點在以為直徑的圓的外部或圓上，即點P到直線l的距離最小時，的距離最大.【詳解】由已知條件得,,則,即點P的軌跡為以點為圓心，為2半徑的圓，點到直線的距離為，則點到直線距離的最小值為，∵直線上存在兩點M、N，使得恒成立，∴直角或銳角，即點在以為直徑的圓上或外部，∴當點在的位置時，點P到直線l的距離最小，則距離最大，即.故答案為：2.60 ??【變式12-3】已知中，，，，M是AB的中點，P為線段DC上的動點，則的取值范圍是；延長DC至，使，若T為線段上的動點，且恒成立．則的最大值為．【答案】【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量，設出點、點的坐標，計算和，結(jié)合題意及基本不等式即可求出結(jié)果．【詳解】建立平面直角坐標系，如圖所示：中，2，，所以即，，設，則，所以，由，得，所以的取值范圍是；設，則，所以，所以不等式化為，則，設，則，所以，60 當且僅當，即，即時取“＝”，所以的最大值為．故答案為：．一、一、單選題1．（2024·廣東廣州·廣州六中?？既＃┰谄叫兴倪呅沃校?，，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求解.【詳解】,故選：B??2．（2023·陜西榆林·?？寄M預測）在中，點滿足，點滿足，若，則（????）A．B．C．D．【答案】C【分析】用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因為點滿足，所以為的中點，所以，又，所以，所以，又，因為，所以，60 即，所以，解得，所以.故選：C3．（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預測）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，確定的形狀，再利用投影向量的意義求解作答【詳解】因為和分別表示向量和向量方向上的單位向量，由，可得的角平分線與垂直，所以為等腰三角形，且，又，得，所以，又，所以,所以為等邊三角形，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B.60 4．（2023·全國·模擬預測）已知單位向量，的夾角為，向量，，，向量，的夾角的余弦值為，則（????）A．1B．C．2D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，由平面向量的夾角公式代入計算，列出方程，即可得到結(jié)果.【分析】由題意，得，所以，．而，所以．整理，得，解得或（舍去）．故選：C．5．（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有及其內(nèi)一點O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（????）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)平面向量基本定理可得，，延長交于，延長交于，根據(jù)面積比推出，結(jié)合角平分線定理推出為的平分線，同理推出是的平分線，根據(jù)內(nèi)心的定義可得答案.60 【詳解】由得，由得，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，，延長交于，延長交于，則，又，所以，所以為的平分線，同理可得是的平分線，所以為的內(nèi)心.故選：B6．（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知是半徑為2的圓上的三個動點，弦所對的圓心角為，則的最大值為（????）A．6B．3C．D．【答案】A【分析】將中向量進行分解，即：，由是的中點，可將上式進行化簡整理為，所以只需求最大，即的長加圓的半徑即可，然后代入即可求得的最大值.【詳解】因為弦所對的圓心角為，且圓的半徑為2，所以，取的中點，所以，，如圖所示：60 因為,因為是的中點，所以，，所以若最大，所以只需最大，所以，所以.故選：A二、多選題7．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（???）A．若，則B．若，則與同向的單位向量為C．若，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為D．若，則的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷AB選項，再根據(jù)向量夾角公式可判斷C選項，結(jié)合向量垂直的坐標表示及基本不等式可判斷D選項.【詳解】由，，A選項：，則，解得，則，，60 所以不存在，使，即，不共線，A選項錯誤；B選項：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項正確；C選項：時，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項錯誤；D選項：由，得，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，D選項正確；故選：BD.8．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）在直角梯形中，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（????）??A．1B．C．D．3【答案】AB【分析】建立平面直角坐標系，設，用坐標表示出，再根據(jù)列方程可得，然后可得.60 【詳解】??如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，不妨設，則，則設，則∵，∴，∴整理得，因為，所以故選：AB.9．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為2的正六邊形，點是內(nèi)部（包括邊界）的動點，，，.（????）??A．B．存在點，使C．若，則點的軌跡長度為2D．的最小值為【答案】AD【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運算即可求解A，根據(jù)共線即可得矛盾求解B，根據(jù)共線即可求解C，根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合圖形關系即可求解D.【詳解】設為正六邊形的中心，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得且四邊形均為菱形，60 ，故A正確，假設存在存在點，使，則,其中點為以為鄰邊作平行四邊形的頂點，所以在直線上，這與點是內(nèi)部（包括邊界）的動點矛盾，故B錯誤，當時，，取,則,所以點的軌跡為線段,其中分別為過點作與的交點，由于為的中點，所以,故點的軌跡長度為1，C錯誤，由于,,過作于，則,所以此時，由于分別為上的分量，且點點是內(nèi)部（包括邊界）的動點，所以當位于時，此時同時最小，故的最小值為故選：AD??10．（2023·福建·統(tǒng)考一模）平面向量滿足，對任意的實數(shù)t，恒成立，則（????）A．與的夾角為B．為定值C．的最小值為D．在上的投影向量為【答案】AD【分析】由題意可得：與的夾角，然后根據(jù)向量的運算逐項進行檢驗即可求解.【詳解】設平面向量與的夾角為，60 因為對任意的實數(shù)t，恒成立，即恒成立，又，也即對任意的實數(shù)恒成立，所以，則，所以，故選項正確；對于，因為隨的變化而變化，故選項錯誤；對于，因為，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，取最小值，故選項錯誤；對于，向量上的一個單位向量，由向量夾角公式可得：，由投影向量的計算公式可得：在上的投影向量為，故選項正確，故選：.三、填空題11．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，則，若，，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得60 的值；結(jié)合已知用表示，結(jié)合三點共線可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當且僅當，結(jié)合，即時，取等號；即的最小值為，故答案為：；【點睛】結(jié)論點睛：若，則三點共線.12．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）平面向量，滿足，且，則的最小值是．【答案】/【分析】運用向量的數(shù)量積、向量的夾角公式計算可得，結(jié)合基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由兩邊平方得．又因為，所以，60 所以，當且僅當時取等號，所以的最小值是.故答案為：.13．（2022·江蘇南京·模擬預測）在中，，，，為的重心，在邊上，且，則．【答案】【分析】根據(jù)為的重心，得到，再由和，利用等面積法求得，進而得到，方法一：利用基底法求解；方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.【詳解】解：因為為的重心，所以，因為，所以，則，因為，所以，即，所以，在中，．方法一：因為，，所以，．方法二：以坐標原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，60 則，，由方法一可知，，所以．14．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知等邊三角形ABC的邊長為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任意一條直徑，則=.【答案】1【分析】根據(jù)平面向量基本定理并借助圓心和圓內(nèi)向量互為相反向量即可求解.【詳解】??.60 故答案為:1.1．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）已知向量，若，則（????）A．B．C．5D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（????）A．B．3C．D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.60 3．（2023年北京高考數(shù)學真題）已知向量滿足，則（????）A．B．C．0D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知向量，若，則（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（????）A．B．60 C．D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得??當點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設，則：，則當時，有最大值.60 ??當點位于直線同側(cè)時，設，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.6．（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，60 因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D????????7．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）設點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，即可求出各頂點的坐標，設，再根據(jù)平面向量模的坐標計算公式即可得到，然后利用即可解出．60 【詳解】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則,，設,于是，因為，所以，故的取值范圍是.故答案為：．8．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知向量滿足，且，則（????）A．B．C．D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,60 AB邊上的高,所以,,.故選:D.9．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知向量，則（????）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.10．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為【答案】【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．法二：以點為原點建立平面直角坐標系，設，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當且僅當與相切時，最大，即求出．60 【詳解】方法一：，，，當且僅當時取等號，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標系：，，，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當且僅當與相切時，最大，此時．故答案為：；．11．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令60 ，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.12．（2023年天津高考數(shù)學真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設，則可用表示為；若，則的最大值為．【答案】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，60 在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當且僅當取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.??60