熱點3-2 三角函數的圖象與性質（10題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx

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熱點3-2三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質是高考的熱點，函數的圖象變換以及三角函數的周期性、對稱性、單調性之間邏輯關系則是重心。隨著新高考改革的推進，更加注重對以周期性為核心的三大性質之間的邏輯關系的考查，要求考生能用幾何直觀和代數運算來研究三角函數。高考中的相關試題多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏下。【題型1三角函數的識圖問題】滿分技巧圖象辨識題的主要解題思想是“對比選項，找尋差異，排除篩選”（1）求函數定義域（若各選項定義域相同，則無需求解）；（2）判斷奇偶性（若各選項奇偶性相同，則無需判斷）；（3）找特殊值：①對比各選項，計算橫縱坐標標記的數值；②對比各選項，函數值符號的差別，自主取值（必要時可取極限判斷符號）；（4）判斷單調性：可取特殊值判斷單調性.【例1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）下圖是函數的部分圖象，則該函數的解析式可以是（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由圖可得：，即，即，觀察各選項可知，本題考慮即可，則，把點代入中，可得：，故，即，所以，故選：C.【變式1-1】（2024·天津寧河·高三統(tǒng)考期末）函數在區(qū)間上的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，，所以，圖像關于原點對稱，故選項A和B錯誤，又，，，所以選項C錯誤，選項D正確，故選：D.【變式1-2】（2024·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）函數的部分圖像大致為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函數的定義域為，故可排除ABD，故選：C學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學校聯考期末）現有四個函數：①；②；③；④的圖象（部分）如圖，則按照從左到如圖像對應的函數序號正確的一組是（）A．①③②④B．①④③②C．③①②④D．③①④②【答案】A【解析】設，定義域為R，滿足，即為偶函數，對應的圖象為圖，設，定義域為R，滿足，即為奇函數，且當時，，對應的圖象為圖；設，定義域為R，滿足，為奇函數，且零點為，對應的圖象為圖；設，定義域為R，滿足，為奇函數，且零點為0和，對應的圖象為圖4.故選：A.【變式1-4】（2023·福建泉州·高三?？茧A段練習）函數的圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：因為，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以為奇函數，其圖象關于原點對稱，排除A，D；當時，，，，故，排除C，故選B．解法二：當時，，排除A，C；又當時，，，，則，排除D，故選：B．【題型2由三角函數的圖象求解析式】滿分技巧已知的部分圖象求其解析式時，比較容易看圖得出，困難的是求待定系數和，常用如下兩種方法：（1）由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標，則令（或），即可求出；（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或“零點”）坐標代入解析式，再結合圖形解出和，若對，的符號或對的范圍有要求，可用誘導公式變換使其符合要求?！纠?】（2023·全國·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由圖可知，點在圖象上，所以，則，又知點在的增區(qū)間上，所以；由五點作圖法可知，，解得，所以，則，故選：D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式2-1】（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）函數的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個單位長度后，得到的函數圖象解析式為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖可得，又，故，，故，則，又，故，，即，，故，，又，故，則，將的圖象向右平移個單位長度后，可得，故選：A.【變式2-2】（2024·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃┖瘮档牟糠謭D像如圖所示，則，的值分別是（）A．2，B．2，C．2，D．4，【答案】B【解析】設的周期為，則由圖像知，所以，則，因為在處取得最大值，所以，得，因為，所以，故選：B學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式2-3】（2024·遼寧沈陽·高三沈陽實驗中學校聯考期末）函數的部分圖象如圖，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由圖象可得，故，因為，故或，將代入解析式得，即，由圖象可知2為函數在原點右邊的第一個最大值點，故，當時，，解得，滿足要求，當時，，解得，不合要求，舍去，故選：A【變式2-4】（2024·河南信陽·統(tǒng)考二模）（多選）已知函數的圖象如圖所示，，是直線與曲線的兩個交點，且，則下列選項正確的是（）A．的值為3B．的值為2C．的值可以為D．的值可以為【答案】AD【解析】由函數的圖象可知,設，由可得，令，即，結合圖像可得，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 則，即，故A正確，B錯誤；將代入，即有，且為函數下降零點，所以，故，當時，，不符合題意，當時，，符合題意，故C錯誤，D正確；故選：AD.【題型3三角函數的圖象變換問題】滿分技巧函數y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數的圖象變換過程與正弦型函數的圖象變換過程相同?！纠?】（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？家荒＃榱说玫胶瘮档膱D象，只需把函數的圖象上所有的點的（）A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變【答案】B【解析】因為把函數的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，就能得到函數的圖象，故選：B【變式3-1】（2024·廣東廣州·高三執(zhí)信中學?？茧A段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則的最小值為（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】依題意，函數，把的圖象向右平移個單位長度，得的圖象，而，于是，而，則，，所以的最小值為.故選：B【變式3-2】（2024·福建·高三校聯考期末）已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】，，故將的圖象向右平移個單位長度可得，即為的圖象，故選：C【變式3-3】（2024·天津和平·高三統(tǒng)考期末）已知函數，函數圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為，將圖象上所有的點向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，，則，所以，則將圖象上所有的點向左平移個單位長度變?yōu)?，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數為，故選：A.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式3-4】（2023·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）要得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向左平移個單位長度【答案】B【解析】因為，，所以將的圖象向左平移個單位可得到的圖象，故選：B.【題型4三角函數的單調性及應用】滿分技巧1、求三角函數單調區(qū)間的2種方法（1）代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解；（2）圖象法：畫出三角函數的正、余弦和正切曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間求解三角函數的單調區(qū)間時，若x的系數為負，應先化為正，同時切莫忽視函數自身的定義域．2、已知單調區(qū)間求參數范圍的3種方法（1）子集法：求出原函數的相應單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；（2）反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；（3）周期性法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解?！纠?】（2023·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習）已知函數，則（）A．在單調遞減B．在單調遞增C．在單調遞減D．在單調遞增【答案】C學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】因為，對于選項A：因為，則，且在內不單調，所以在內不單調，故A錯誤；對于選項B：因為，則，且在內不單調，所以在內不單調，故B錯誤；對于選項C：因為，則，且在內單調遞減，所以在內單調遞減，故C正確；對于選項D：因為，則，且在內單調遞減，所以在內單調遞減，故D錯誤；故選：C.【變式4-1】（2024·浙江溫州·溫州中學?？家荒＃┮阎瘮?，其中.若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，函數的增區(qū)間為，且，解得.由題意可知：.于是，解得.又，于是，故選：A.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式4-2】（2024·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）已知函數在上是增函數，則的取值范圍是.【答案】【解析】根據題意，，解得，又，則；當，，由題可得，解得；綜上所述，的取值范圍是.【變式4-3】（2024·廣東·高三廣東實驗中學校聯考期末）已知函數的最小正周期為，且在上單調遞減，在上單調遞增，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】由的最小正周期為，得，則，因當時，，此時函數單調遞減，即在上單調遞減；當時，，此時函數單調遞增，即在上單調遞增.由題知在上單調遞減，在上單調遞增，故須使，解得.【變式4-4】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知函數在上單調遞增，在學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 上單調遞減，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得，的單調增區(qū)間為.在上單調遞增，，.由，解得，的單調減區(qū)間為，又函數在上單調遞減，，.綜上，，即實數的取值范圍為，故選：C【題型5三角函數的周期性及應用】滿分技巧周期的計算公式：函數的周期為，函數的周期為求解.【例5】（2023·河南周口·高三校聯考階段練習）下列函數中，以為周期的函數是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故選項A錯誤；對于B，因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故選項B錯誤；對于C，因為函數的最小正周期為，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以根據圖象變換可知函數最小正周期為，所以也是它的一個周期，故選項C正確；對于D，作出函數的圖象：根據圖象可知該函數不是周期函數，故選項D錯誤，故選：C．【變式5-1】（2023·重慶·重慶市石柱中學校校聯考一模）函數的最小正周期為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為.所以，函數的最小正周期為：，故選：B【變式5-2】（2023·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）函數的最小正周期為.【答案】【解析】由誘導公式可知，，當時，與不恒相等，故的最小正周期為.【變式5-3】（2024·廣東汕頭·金山中學校考模擬預測）“的最小正周期為”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當的最小正周期為時，有，即充分性不成立；學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 當時，的最小正周期為，即必要性成立；所以“的最小正周期為”是“”的必要不充分條件，故選：B.【變式5-4】（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）設函數在的圖象大致如圖，則的最小正周期為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函數的圖象，函數的最小正周期且，可排除A，D；又由，即，若選B，則，此時，此時不為整數，排除B項；若選C，則，此時，此時，排除C項，故選：C.【題型6三角函數的奇偶性及應用】滿分技巧與三角函數奇偶性相關的結論三角函數中，判斷奇偶性的前提是定義域關于原點對稱，奇函數一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．常見的結論有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ＋(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．【例6】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數，則“”是“為奇函數”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由題意可知：的定義域為，若，可得，若為偶數，則為奇函數；若為奇數，則為奇函數；即充分性成立；若為奇函數，則，即必要性成立；綜上所述：“”是“為奇函數”的充要條件，故選：C.【變式6-1】（2024·河南·模擬預測）已知函數，則“，”是“為偶函數”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】函數，當時，，為偶函數，所以充分性成立；為偶函數時，，解得，不能得到，所以必要性不成立.故“，”是“為偶函數”的充分不必要條件.故選：A【變式6-2】（2024·廣東廣州·廣州六中?？既＃┤艉瘮禐槠婧瘮担瑒t（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若0在定義域內，由時，得，；若0不在定義域內，由時，無意義，得．綜上，，故選：C．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式6-3】（2024·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數為偶函數，則（）A．－2B．－1C．0D．2【答案】A【解析】由且，由，因為該函數是偶函數，所以定義域關于原點對稱，因此有，即，定義域為，因為，所以該函數是偶函數，符合題意，故選：A【變式6-4】（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）若為奇函數，則實數（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于函數，有，解得，所以，函數的定義域為，因為函數為奇函數，則，即對任意的恒成立，所以，，所以，，解得，，故選：D.【變式6-5】（2023·北京海淀·高三專題練習）函數，則（）A．若，則為奇函數B．若，則為偶函數C．若，則為偶函數D．若，則為奇函數【答案】B【解析】的定義域為，對A：若，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 若為奇函數，則，而不恒成立，故不是奇函數；對B：若，，，故為偶函數，B正確；對C：若，，，故不是偶函數，故C錯誤；對D：若，，若為奇函數，則，而不恒成立，故不是奇函數；故選：B【題型7三角函數的對稱性及應用】滿分技巧三角函數對稱性問題的2種求解方法1、定義法：正(余)弦函數的對稱軸是過函數的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數的零點；2、公式法：（1）函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝－＋，對稱中心為；（2）函數y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝－，對稱中心為；（3）函數y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心為.上述k∈Z【例7】（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數中，其圖象關于點對稱的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A，當時，，A不是；對于B，當時，，B是；對于C，當時，，C是；對于D，當時，，正切值不存在，D是.故選：BCD【變式7-1】（2024·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）“函數的圖象關于學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 對稱”是“，”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當函數的圖象關于對稱時，有，，得，，易知，所以“函數的圖象關于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．【變式7-2】（2024·山東青島·高三青島二中校考期末）已知函數的圖像關于原點中心對稱，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函數的圖像關于原點中心對稱,則，解得，因為，當時，取得最小值，故選：B【變式7-3】（2022·全國·高三校聯考階段練習）已知是函數的一條對稱軸，且，則（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】由是函數的一條對稱軸，知，∵，，，，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 又，，，.故選：B.【變式7-4】（2024·陜西安康·安康中學校聯考模擬預測）若函數的圖象在內有且僅有兩條對稱軸，一個對稱中心，則實數的最大值是．【答案】【解析】由題意，得，令，解得，令，得；令，解得，令，得．根據題意，得，解得，所以實數的最大值是．【題型8三角函數的最值問題】滿分技巧三角函數值域或最值的3種求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函數，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域(最值)；3、換元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數求值域(最值)學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【例8】（2022·河南·高三校聯考專題練習）函數的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，，故函數的一個周期為，當時，，，此時，，；當時，，此時，故函數的最小值為，故選：D．【變式8-1】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】由題意，解得，所以，當時，，所以在區(qū)間上的最大值為，當且僅當時等號成立，故選：C.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式8-2】（2024·廣東廣州·廣東實驗中學校考模擬預測）（多選）對于下列四種說法，其中正確的是（）A．的最小值為4B．的最小值為1C．的最小值為4D．最小值為【答案】BD【解析】對于A中，由，當且僅當時，即，顯然不成立，所以A錯誤；對于B中，由，當且僅當，即時，等號成立，所以B正確；對于C中，由，令，可得，則函數在為單調遞減函數，所以，所以C不正確；對于D中，由，令，可得，根據對勾函數的性質，可得在為單調遞增函數，所以，所以D正確，故選：BD.【變式8-3】（2024·江西贛州·高三南康中學校聯考期末）已知函數在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為得，則，所以由題意可得，，解得，故選：D【變式8-4】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知函數，，若函數在上存在最大值，但不存在最小值，則的取值范圍是（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】若，則，又因為，函數在上存在最大值，但不存在最小值，所以當，即時，只需滿足，此時，當，即時，函數一定存在最大值，要讓函數無最小值，則，此時，綜上，，即的取值范圍是.故選：D【題型9三角函數零點綜合】【例9】（2024·全國·模擬預測）函數與函數的圖象所有交點的橫坐標之和為．【答案】10【解析】因為，所以函數的圖象關于直線對稱，且在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為．所以函數的圖象關于直線對稱，且的最大值為2．由于的圖象和的圖象都關于直線對稱，所以先考慮兩個圖象在上的情形，易知在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．易知，，所以可作出函數與的大致圖象如圖所示，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以的圖象和的圖象在上有5個交點．根據對稱性可知兩函數圖象共有10個交點，且兩兩關于直線對稱，因此所有交點的橫坐標之和為．【變式9-1】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，若在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，因為函數在區(qū)間上有2個零點，所以，解得，即的取值范圍是，故選：C.【變式9-2】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由題意得，故當時，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 顯然當，即為的一個零點，要想在上恰有三個不同的零點，若，解得，若，無解，若，無解，故選：A【變式9-3】（2023·甘肅天水·高三校聯考階段練習）已知函數（其中）在區(qū)間上恰有4個零點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，又函數在區(qū)間上恰有4個零點，，，的取值范圍是.故選：A.【變式9-4】（2024·遼寧·高三校聯考期末）（多選）已知函數恰有5個零點，則的值可能為（）A．4B．5C．D．【答案】BC【解析】由，得.函數在上的零點個數為2，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 又因為函數恰有5個零點，所以函數在上的零點個數為3.由，得，則，解得，故選：BC【題型10三角函數圖象性質綜合】【例10】（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數的部分圖像如圖所示，則（）??A．在上單調遞增B．在上有4個零點C．D．將的圖象向右平移個單位，可得的圖象【答案】ABC【解析】由圖知，，所以或，又，所以，所以，又因為圖象過，且為下降零點，所以，，故,結合圖象，即，所以，所以，對于A選項，當，，結合正弦函數圖像可知，在上單調遞增，故A正確；對于B選項，當時，，其中，結合正弦函數圖像可知，在上有4個零點，故B正確；對于C選項，當時，即，即或，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 結合圖象可知，，所以，故C正確；對于D選項，將的圖象向右平移個單位，得，而，故D錯誤，故選：ABC.【變式10-1】（2024·吉林長春·高三長春吉大附中實驗學校?？计谀┮阎瘮担ㄆ渲?，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．（1）求與的解析式；（2）令，求在區(qū)間內的所有實數解的和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）設函數的最小正周期為，因為，由函數可得，因為，所以，解得，將代入解析式，得，故，因為，所以，，故，解得，故，的圖象向右平移個單位長度，得到；（2），令得，即，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 當時，，令，畫出在的函數圖象，如下：共有4個解，其中，即，解得，.【變式10-2】（2023·安徽·高三校聯考階段練習）函數的部分圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，求函數在上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）觀察圖象可得，函數的周期，解得，即，由，得，即，，而，則，所以函數的解析式是.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （2）將的圖象向左平移個單位長度，可得到函數的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，則，當時，，則，所以，因此在上的值域為.【變式10-3】（2024·廣東廣州·廣東實驗中學?？家荒＃┮阎瘮档淖钚≈禐椋鋱D象上的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且圖象關于點對稱．（1）求函數的解析式和單調遞增區(qū)間；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1），單調遞增區(qū)間為；（2）【解析】（1）由題知：，函數的最小正周期，故，解得，所以，則，即，，，∵，∴，故，令，解得，故函數的單調遞增區(qū)間是；（2）因為，所以，故，，所以，∵不等式在上恒成立，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 ，即在上恒成立，，解得，即實數的取值范圍是．【變式10-4】（2024·吉林白城·高三?？茧A段練習）已知函數為奇函數，且圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為.（1）求的解析式與單調遞減區(qū)間；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求方程的所有根的和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由題意可得：因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，即可得，又為奇函數，則，又，所以，故.令，得，所以函數的遞減區(qū)間為.（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標縮小為原來的，得到函數的圖象，又，則或，即或.令，當時，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 畫出的圖象如圖所示：的兩個根對應的點關于直線對稱，即，有，在上有兩個不同的根，所以；又的根為，所以方程在內所有根的和為.（建議用時：60分鐘）1．（2023·北京延慶·高三北京市延慶區(qū)第一中學校考階段練習）設函數，則下列結論正確的是（)A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的一個零點為D．的圖象可以由圖像左移得到【答案】D【解析】由，則其最小正周期為，A錯誤；當時，，是對稱中心，B錯誤；，當時，，C錯誤；的圖象左移，即，D正確，故選：D學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 2．（2022·全國·高三校聯考專題練習）函數的單調遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，令，解得，故的單調遞增區(qū)間為，故選：B.3．（2024·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯考期末）函數在上的值域為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，當時，，則，所以在上的值域為．故選：B4．（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預測）函數向左平移個單位得到，若是偶函數，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，在中，向左平移得到，所以，因為為偶函數，所以，又因為，所以，故選：D.5．（2023·青海·高三校聯考階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若直線是圖象的一條對稱軸，則的值可能為（）A．B．C．D．【答案】B學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】由題意，因為直線是圖象的一條對稱軸，所以，則，對比選項可知當時，．故選：B．6．（2023·福建福州·高三校聯考期中）函數的兩個零點分別為，且，在上僅有兩條對稱軸，則可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數的兩個零點為，且在上僅有兩條對稱軸，所以，又且，得.由函數的零點為，得，得，當時，，此時.故選：A.7．（2023·河北石家莊·高三校考階段練習）已知函數滿足，且在上單調，則的最大值為（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由，得的圖象關于點中心對稱．又且在上單調，且，所以在上單調，所以，即，所以．故選：B.8．（2024·江西南昌·南昌二中校聯考模擬預測）設函數若存在且，使得，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】不妨取，由可得：，由可得，由圖可取要使存在且，使得，需使，，解得.故選：A.9．（2023·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學校聯考階段練習）若函數在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題可知，解得，．因為函數在區(qū)間上恰有兩個零點，所以或解得或，即．故選：C.10．（2023·江蘇南京·高三期末）已知函數在區(qū)間上恰有兩個最大值，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，則，所以由題意得：，解得.故選：D.11．（2023·廣西·高三南寧三中校聯考階段練習）（多選）已知函數，則下列說法正確的是（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．的最小正周期為B．在區(qū)間上單調遞減C．是函數圖象的一條對稱軸D．的圖象關于點對稱【答案】ACD【解析】函數對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，由，得，從而即時，單調遞減，故B不正確；對于C，，所以是函數圖象的一個對稱軸，故C正確；對于D，，所以的圖象關于點對稱，故D正確．故選：ACD．12．（2023·山東青島·高三萊西市第一中學校聯考期中）（多選）設函數，則（）A．為奇函數B．的最小正周期為C．存在零點D．存在極值點【答案】BCD【解析】對A，由，可得，解得，所以函數的定義域為，且，所以函數為偶函數，A錯誤；對B，因為函數的最小正周期為，所以的最小正周期為，B正確；對C，令，即，即，即為函數的零點，C正確；對D，因為函數在單調遞增，單調遞減，所以函數在單調遞增，單調遞減，所以為函數的極大值點，D正確；故選:BCD.13．（2023·安徽安慶·高三懷寧縣新安中學?？计谥校ǘ噙x）已知，下列結論中正確的有（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．既是奇函數也是周期函數B．的最大值為C．的圖象關于直線對稱D．的圖象關于點中心對稱【答案】ACD【解析】對于A選項，函數的定義域為，，，所以，函數既是奇函數也是周期函數，A對；對于B選項，令，則，令，其中，則，由，可得；由，可得或，所以，函數的減區(qū)間為和，增區(qū)間為，因為，，所以，函數的最大值為，B錯；對于C選項，因為，所以，函數的圖象關于直線對稱，C對；對于D選項，因為，所以，函數的圖象關于點對稱，D對.故選：ACD.14．（2023·安徽·高三校聯考期末）（多選）已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A．B．在上單調遞增C．的圖象關于直線對稱D．為偶函數【答案】AC【解析】對于A選項，由圖可知，，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 因為，則，所以，，解得，A對；對于B選項，由A選項可知，，當時，，所以，函數在上不單調，B錯；對于C選項，因為，所以，的圖象關于直線對稱，C對；對于D選項，，所以，是非奇非偶函數，D錯.故選：AC.15．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且關于點對稱，則的值為．【答案】【解析】因為函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，則，，所以，又函數圖象關于點對稱，所以，則，即，因為，所以.16．（2024·山東臨沂·高三統(tǒng)考期末）設函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為．【答案】【解析】函數的最小正周期為，由于，則區(qū)間的長度是周期的，要使取最小值，則在上不單調，所以當區(qū)間關于其對稱軸對稱時，取得最小值，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 其對稱軸為，所以當時，函數取得最值±4，不妨設，則，解得，所以，所以的最小值為.17．（2024·江蘇常州·高三校考期末）將余弦函數的圖象上所有點的縱坐標伸長到頂原來的倍（橫坐標不變），再將所得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.若關于x的方程在內有兩個不同的解，則實數m的取值范圍為．【答案】【解析】依題意，，則關于x的方程可化為：，則關于x的方程在內有兩個不同的解可轉化為：函數的圖象與函的圖象在上有兩個交點.由可得：，取,作出函數在上的圖象.由圖，要使函數的圖象與其有兩個交點，須使，即實數m的取值范圍為.18．（2023·北京東城·高三北京五十五中校考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示．（1）求函數的解析式；學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 （2）求函數的單調遞增區(qū)間；（3）求函數的最大值與最小值．【答案】（1）；（2）；（3）最大值為，最小值為.【解析】（1）由圖知：的最小正周期為，故，所以，又為單調遞減區(qū)間上的零點，故，又解得：.又圖象過(0，1)點，所以，解得.所以函數的解析式為：.（2）由（1）知令，解得：故函數的單調遞增區(qū)間為：（3），當時，最小值為；當時，最大值為；故：最大值為，最小值為.19．（2023·河南·高三校聯考期中）設，，已知函數的圖象在區(qū)間內恰有4條對稱軸，且函數為偶函數．（1）求的值以及的取值范圍；（2）當取得最大值時，將的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，再將所得圖象向右平移學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 個單位長度，得到函數的圖象，求函數在區(qū)間上的值域．【答案】（1），；（2）【解析】（1）依題意得，因為為偶函數，所以，故．因為，所以，．令，則，則，解得，即的取值范圍為．（2）依題意得，將的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，得到的圖象，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到的圖象．當時，，故的值域為，即在區(qū)間上的值域為．20．（2023·福建泉州·高三?？茧A段練習）已知點，是函數圖象上的任意兩點，，且當時，的最小值為.（1）求的解析式；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題知，，即，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 又，所以，因為時，的最小值為，所以，即，所以，（2）當時，，所以，所以，令，則當時，恒成立，等價于時，恒成立，，因為，當且僅當，即時，等號成立，又當時，，所以所以，即實數的取值范圍為.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司