熱點7-1 直線與圓綜合（10題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx

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熱點7-1直線與圓綜合1、直線的方程、直線平行與垂直、點到直線的距離公式等多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較??；2、圓是高考數(shù)學的熱點命題，常與圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程、弦長、面積等，此類試題難度中等，多以選擇題或填空題的形式考查；3、直線與圓偶爾單獨命題，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，多與導數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，對直線與圓的方程的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上?！绢}型1直線的傾斜角與斜率】滿分技巧1、求傾斜角的取值范圍的一般步驟（1）求出斜率k＝tanα的取值范圍．（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．求傾斜角時要注意斜率是否存在．2、斜率取值范圍的2種求法（1）數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定；（2）函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可【例1】（2022·全國·模擬預測）“直線的傾斜角為銳角”是“直線的斜率不小于”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線的斜率不小于，則該直線的傾斜角為銳角或，∴“直線的傾斜角為銳角”是“直線的斜率不小于”的充分不必要條件.故選：A. 【變式1-1】（2023·江西宜春·高三豐城中學?？茧A段練習）設直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直線的斜率，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A【變式1-2】（2024·北京·高三北理工附中?？奸_學考試）已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“"是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由題意兩直線均有斜率，所以，當時，取，則，但，即充分性不成立；當時，取，則，但，即必要性不成立；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【變式1-3】（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？家荒＃┮阎本€的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C【變式1-4】（2024·全國·高三專題練習）（多選）已知點，，斜率為k的直線l過點 ，則下列斜率k的取值范圍能使直線l與線段相交的有（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標系中，作出A，B，P三點，如圖所示．當直線l與線段相交時，或，所以斜率k的取值范圍是或斜率不存在，結(jié)合選項，選項A、B符合題意．故選：AB．【題型2直線方程及過定點問題】滿分技巧1、求解直線方程的兩種方法（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；（2）待定系數(shù)法：①設所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設直線方程2、直線過定點：過與的交點的直線可設為：【例2】（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）對于直線，下列選項正確的為（）A．直線傾斜角為B．直線在軸上的截距為C．直線的一個方向向量為D．直線經(jīng)過第二象限【答案】C【解析】因為直線的斜率為，所以直線傾斜角為，故A錯誤；在中，令，解得，即直線在軸上的截距為，故B錯誤；在中，令，解得，即直線過兩點，，所以直線的一個方向向量為，故C正確； 畫出直線的圖象如圖所示，所以直線不經(jīng)過第二象限，故D錯誤.故選：C.【變式2-1】（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學校考期末）已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得直線的一個方向向量為，所以其斜率為，又它經(jīng)過點，所以直線的方程為，即.故選：B.【變式2-2】（2024·廣東廣州·廣東實驗中學?？家荒＃┮阎c,直線與軸相交于點,則△中邊上的高所在直線的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直線與軸相交于點,令得由題知且直線的斜率得易知點在直線上,根據(jù)點斜式得即.故選：C.【變式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中學校考階段練習）已知的三個頂點分別為.（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）已知平行四邊形，求點的坐標.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設線段的中點，且，則邊的垂直平分線的斜率，由直線的點斜式可得，化簡可得. （2）由四邊形為平行四邊形，且，則，又，則.【變式2-4】（2022·江蘇宿遷·高三沭陽如東中學?？计谥校ǘ噙x）已知直線，直線，且與相交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A．過定點過定點B．點的軌跡方程為C．點到點和點距離之和的最大值為D．設，則的最大值為【答案】BD【解析】由，即過定點，，即過定點，A錯；由，即，所以的軌跡是以為直徑的圓，所以圓心為，半徑為，即軌跡方程為，B對；如下圖，設，則，故，當且僅當時等號成立，故到點和點距離之和的最大值為，C錯；由圖知：當直線與圓相切時，最大，此時，所以且最大，D對.故選：BD【題型3直線的平行與垂直問題】滿分技巧1、由一般式方程確定兩直線位置關系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行的充分條件＝≠(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件≠(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件＝＝(A2B2C2≠0)2、平行垂直直線一般方程的設法：（1）平行：與直線垂直的直線方程可設為（2）垂直：與直線垂直的直線方程可設為【例3】（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）“”是“直線與平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，直線與平行；當直線與平行時，有且，解得，故“”是“直線與平行”的充要條件，故選：C【變式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習）已知，，直線和垂直，則的最小值為（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】因為直線和垂直，所以，所以，因為，，所以，當且僅當，即時取等.故選：C.【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知直線，，則（）A．恒過點B．若，則 C．若，則D．當時，不經(jīng)過第三象限【答案】BD【解析】對于選項A：直線的方程可化為：，令得：，所以直線恒過點，故選項A錯誤，對于選項B：若時，顯然不平行，若時，顯然不平行，所以若，則，且，解得，故選項B正確，對于選項C：若，則，解得，故選項C錯誤，對于選項D：若直線不經(jīng)過第三象限，當時，直線，符合題意，當時，則，解得，綜上，，故選項D正確，故選：BD.【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）過點且與直線平行的直線方程為.【答案】【解析】設所求直線方程為，因為點在直線上，所以，解得，故所求直線方程為.【變式3-4】（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預測）過點且與直線垂直的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直線的斜率為，故所求直線的斜率為，所以，過點且與直線垂直的直線方程是，即.故選：C.【題型4直線的距離問題及應用】 滿分技巧點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件（1）求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式．（2）求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應相等．【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預測）點到雙曲線的漸近線的距離為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，即，則點到雙曲線的漸近線的距離為.故選：A【變式4-1】（2022·全國·高三專題練習）圓上到直線的距離等于1的點的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意知，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，當，此時圓上有個點滿足，當，此時圓上有個點滿足，所以圓上到直線距離為的點的個數(shù)為.故C正確.故選：C.【變式4-2】（2023·全國·高三專題練習）已知兩條平行直線：，：，則與間的距離為.【答案】【解析】由，得，得，所以：，即，又：，所以與間的距離.【變式4-3】（2022·重慶·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）若直線與 垂直，直線的方程為，則與間的距離為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為直線與垂直，所以，解得，所以直線的方程為，直線的方程為，由平行線間的距離公式可得.故選：C.【變式4-4】（2023·河南南陽·高三南陽中學?？茧A段練習）已知是橢圓上的動點，則點到直線的距離的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使點到直線的距離最大，只需找到與平行、橢圓相切的最遠的一條直線，令與平行、橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓，消去x，則，，可得，對于直線，與直線距離為；對于直線，與直線距離為；所以點到直線的距離的最大值為.故選：A【題型5直線的對稱問題及應用】滿分技巧1、點關于點：點P(x，y)關于點Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足2、線關于點：直線關于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關于點的對稱問題來解決．3、點關于線：點A(a，b)關于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有4、線關于線：直線關于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關于直線的對稱問題來解決．【例5】（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l 的對稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【解析】由題意知，設直線，在直線上取點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.【變式5-1】（2024·廣東·高三廣東實驗中學校聯(lián)考期末）直線關于直線對稱的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，在直線中，作出圖象如下圖所示，由圖可知，點關于直線對稱的點為,直線與直線的交點為,∴關于直線對稱的直線方程為：，即，∴關于直線對稱的直線方程是：.故選：B.【變式5-2】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）直線關于軸對稱的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設是所求直線上任意一點，則關于軸對稱的點為，且在直線上， 代入可得，即.故選：C.【變式5-3】（2022·江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習）與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設為所求直線上任一點，則關于軸對稱的點為，由題意可得點在直線上，所以，即，所以與直線關于軸對稱的直線的方程為，故選：B【變式5-4】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為．若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設點關于直線的對稱點為，與直線交于，且設飲馬處為，由軸對稱性質(zhì)得，，，解得，，故，即與重合時，將軍飲馬的總路程最短，則最短路程為.故選：C【題型6圓的標準方程與一般方程】滿分技巧求圓的方程的方法 1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．2、待定系數(shù)法：（1）若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；（2）若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．【例6】（2024·廣東·珠海市第一中學校聯(lián)考模擬預測）圓心在軸上，半徑為1，且過點的圓的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為圓心在軸上，所以可設所求圓的圓心坐標為，則圓的方程為，又點在圓上，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：A【變式6-1】（2023·河南·高三階段練習）“”是“方程表示圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為方程，即表示圓，等價于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A【變式6-2】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）（多選）若點在圓的外部，則的取值可能為（）A．B．1C．4D．7【答案】BC【解析】由題設，在圓外，則，解得.故選：BC【變式6-3】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）若圓關于直線對稱，則 ．【答案】【解析】圓的圓心為，由題意可知，圓心在直線上，則，解得，當時，此時方程表示圓，滿足題意.【變式6-4】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，圓與兩坐標軸交于四點，其中，點在軸正半軸上，點在軸的正半軸上，圓的內(nèi)接四邊形的面積為，則圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設，則．又因為，解得（負值舍去），因此圓心，圓的方程為，即，故B正確.故選:B．【題型7圓的切線方程與切線長】滿分技巧1、求過一點(x0，y0)的圓的切線方程的方法（1）幾何法：當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程，當斜率不存在時，要進行驗證；（2）代數(shù)法：當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出，當斜率不存在時，要進行驗證2、切線長：若圓的方程為，則過圓外一點的切線長為.【例7】（2024·福建·高三校聯(lián)考開學考試）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（）A．B．C．D． 【答案】B【解析】由點P在圓C上，又由直線的斜率為，可得直線l的斜率為2，則直線l的方程為．故選：B．【變式7-1】（2024·陜西安康·安康中學校聯(lián)考模擬預測）設點是直線與直線的交點，過點作圓的切線，請寫出其中一條切線的方程：．（只需寫一條即可）．【答案】（或）【解析】如圖，由題意知，圓，聯(lián)立，解得，即點，過點作圓的切線，其切線方程為或．【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）已知點在圓．上，點，若的最小值為，則過點A且與圓C相切的直線方程為（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】由圓方程可得圓心為，半徑，因為的最小值為，所以，解得，故圓．若過點的切線斜率存在， 設切線方程為，則，解得，所以切線方程為，即；若過點的切線斜率不存在，由圓方程可得，圓過坐標原點，所以切線方程為．綜上，過點且與圓相切的直線方程為或．故選：A【變式7-3】（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知過點與圓：相切的兩條直線分別是，若的夾角為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為M，N，，則，則，故，故為鈍角，則.故選：D.【變式7-4】（2024·廣東廣州·高三廣州市玉巖中學校考開學考試）已知點是直線上的一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別是點A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圓C：，即圓C：，圓心坐標，半徑為3；由題意過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個全等的三角形的面積的和，因為，，顯然PC最小時四邊形面積最小，即，所以所以四邊形PACB的面積的最小值為，故選：B. 【題型8圓的切點弦及弦長問題】滿分技巧1、直線與圓相交時的弦長求法：（1）幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長之間的關系，整理出弦長公式為：（2）代數(shù)法：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長；（3）弦長公式法：設直線與圓的交點為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關系得到弦長2、切點弦方程：過外一點作圓的兩條切線，切點分別為，則切點弦所在直線方程為：【例8】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A．2B．C．4D．6【答案】C【解析】變形為，故直線過定點，的圓心為，半徑為3，則當⊥時，取得最小值，最小值為.故選：C【變式8-1】（2024·河南周口·高三項城市第一高級中學校聯(lián)考開學考試）過圓外一點作圓的切線，切點分別為，，則（） A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，由題意知，，，，所以，根據(jù)圓的對稱性易知，則，解得．故選：A．【變式8-2】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知圓截直線所得弦的長度為，則實數(shù)a的值是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑，弦的長度為，故圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，所以，故選：C．【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）過直線上一點M作圓C：的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點，則直線PQ的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圓C：的圓心為，設，則以為直徑的圓的方程為與圓C的方程兩式相減可得直線PQ的方程為因為直線PQ過點，所以，解得．所以直線PQ的方程為，即．故選：C． 【變式8-4】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）已知圓，直線，過的直線與圓相交于兩點，（1）當直線與直線垂直時，求證：直線過圓心.（2）當時，求直線的方程.【答案】（1）證明見解析；（2）或【解析】（1）由已知，故，所以直線的方程為.將圓心代入方程易知過圓心.（2）因為，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，當直線與軸垂直時，易知符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即，所以，解得，所以直線的方程為，即；綜上：直線的方程為或.【題型9兩圓的公共弦問題】滿分技巧兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.【例9】（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）已知圓：，圓：，則圓與圓的公共弦所在直線的方程是（）A．B．C．D． 【答案】B【解析】由，則，；由，則，；所以，兩圓相交，將兩圓作差得，所以公共線方程.故選：B【變式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）已知圓O的直徑，動點M滿足，則點M的軌跡與圓O的相交弦長為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，以線段AB的中點O為原點，以直線AB為x軸，建立平面直角坐標系，可設，，明顯，圓O的半徑為2，其方程為：①，設動點，由，從而有，化簡得：，即②，由可得相交弦的方程為：，圓心到距離，所以公共弦長為.故選:A.【變式9-2】（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯(lián)考一模）已知是：上一點，過點作圓：的兩條切線，切點分別為A，B，則當直線AB與平行時，直線AB的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為以為直徑的圓的方程為，又圓：，兩圓方程相減可得兩切點所在直線AB的方程為，由，可得，即得直線AB的方程為.故選：C. 【變式9-3】（2024·山東臨沂·高三統(tǒng)考期末）過圓C：外一點作圓C的切線，切點分別為A，B，則直線過定點（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以為直徑的圓的方程為，即，圓，兩圓方程相減就是直線的方程，即可，整理為，聯(lián)立，得，所以直線恒過定點.故選：A【變式9-4】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）設圓：和圓：交于A，B兩點，則四邊形的面積為（）A．12B．C．6D．【答案】C【解析】由題意可知：，因為圓：和圓：交于A，B兩點，所以直線AB的方程為，所以到直線AB的距離，所以，又所以．故選：C．【題型10兩圓的公切線問題】滿分技巧兩圓公切線方程的確定（1）當公切線的斜率存在時，可設公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關于和的方程，解這個方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程； （2）當公切線的斜率不存在時，要注意運用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程。【例10】（2023·河北衡水·高三校考階段練習）圓與圓的公切線條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由可知圓心為，半徑，由，即，則圓心為，半徑，則兩圓圓心距離為，，，故，即兩圓相交，故公切線條數(shù)為2條.故選：B.【變式10-1】（2023·重慶·高三重慶八中校考階段練習）已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時相切的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知：，所以圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2，對于A，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對于B，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對于C，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件， 圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對于D，圓的圓心到直線的距離為，不滿足相切條件，即直線不可能是兩圓的公切線；故選：D.【變式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中?？计谀┰谥苯亲鴺似矫鎯?nèi)，點到直線的距離為3，點到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】到點距離為3的直線可看作以A為圓心3為半徑的圓的切線，同理到點距離為2的直線可看作以B為圓心2為半徑的圓的切線，故所求直線為兩圓的公切線，又，故兩圓外切，所以公切線有3條，故選：C【變式10-3】（2024·山東·高三煙臺二中校聯(lián)考開學考試）圓和圓的公切線方程是（）A．B．或C．D．或【答案】A【解析】，圓心，半徑，，圓心，半徑，因為，所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因為圓心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點坐標為，故公切線方程為，即．故選：A.【變式10-4】（2023·全國·模擬預測）圓與圓 的公切線長為.【答案】4【解析】由題可得，由圓，則圓心為，半徑為，由圓，則圓的圓心為，半徑為.則兩圓心的距離，因為，所以圓與圓相交.如圖，設切點為，作于點，所以圓與圓的公切線長為.（建議用時：60分鐘）1．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）圓的圓心坐標和半徑分別為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓，即，它的圓心坐標和半徑分別為.故選：A.2．（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）已知直線與直線互相平行，則實數(shù)的值（）A．-2B．-2或1C．2D．1【答案】A【解析】由題意得，解得或，當時，兩直線都為，兩直線重合，舍去；當時，兩直線分別為和，兩直線平行，滿足要求；故選：A3．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線與直線垂直，則的最小值為（） A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】因為直線與直線垂直，所以，即，所以，當且僅當或時等號成立．即的最小值為4，故選：B4．（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知A，B是圓C：的兩點，且是正三角形，則直線AB的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設是圓的圓心，，由題意可知，圓與軸相切于D點，則，又，所以，又是正三角形，則兩點恰為切點設點與點重合，由題意可知，，且，所以，不妨設線段AB中點為H，則，設直線AB：，即，則，則或，結(jié)合圖形知時與圓沒有交點，故舍去，則，所以直線AB的方程為.故選：C5．（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】變形為，圓心為，半徑為4，過定點，當與垂直時，最小，由垂徑定理得，最小值為.故選：B 6．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A7．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）圓與圓相交于A、B兩點，則（）A．2B．C．D．6【答案】D【解析】兩圓方程相減得直線的方程為，圓化為標準方程，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長，所以.故選：D8．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）圓與圓的公切線的條數(shù)是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】圓化成標準方程為，知圓化成標準方程為，知圓心距，可知兩圓內(nèi)切，則兩圓有1條公切線.故選：A9．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）（多選）已知是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則下列說法中正確的是（）A．若，B．若，直線的方程為 C．直線經(jīng)過一個定點D．弦的中點在一個定圓上【答案】BCD【解析】由可得圓心，半徑，依題意，又，所以，故A錯誤；根據(jù)題意可得共圓，所以在以為直徑的圓上，所以以為直徑的圓為，即，與圓相減可得公共弦AB所在直線的方程為，故B正確；設，則，所以以為直徑的圓的方程為，與圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程為，所以直線過定點，故C正確；記弦的中點為，可得，，所以的中點在以為直徑的圓上，故D正確.故選：BCD.10．（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）（多選）已知圓，直線，點在直線上運動，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，當最大時，則（）A．直線的斜率為1B．四邊形的面積為C．D．【答案】AC【解析】若要最大，則只需銳角最大，只需最大，即最小，所以若最小，則，由垂徑分線定理有，所以，所以，故A正確；由題意，此時，，所以此時，故D錯誤；而當時，，所以四邊形的面積為，故B錯誤；由等面積法有四邊形的面積為， 又由題意，所以，故C正確.故選：AC.11．（2023·廣東廣州·廣東實驗中學?？家荒＃ǘ噙x）已知直線：與直線：，其中，則下列命題正確的是（）A．若，則或或B．若，則或C．直線和直線均與圓相切D．直線和直線的斜率一定都存在【答案】AC【解析】對于A，直線：與直線：，若，則，即，又，所以，或或，解得或或，正確；對于B，若，則，所以，又，所以或，當時，直線：即，直線：即，兩直線重合，不符合題意，舍去；當時，直線：即，直線：即，兩直線平行，符合題意；所以，B錯誤；對于C，圓的圓心為，半徑為1，圓心到直線：的距離為，圓心到直線：的距離為，所以直線和直線均與圓相切，正確；對于D，當時，直線：化簡為，直線斜率不存在；當時，直線：化簡為，直線斜率不存在；D錯誤.故選：AC12．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是． 【答案】【解析】設所求圓的一般方程為，因為點，，在圓上，所以，解得，則所求圓的一般方程為：，13．（2024·河南周口·高三統(tǒng)考階段練習）已知圓C：不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)m的最大值為．【答案】【解析】圓方程整理為，則圓心，，因為圓不經(jīng)過第三象限，所以，解得，則.14．（2023·安徽六安·高三毛坦廠中學?？茧A段練習）設直線的方程為.（1）求證：不論a為何值，直線必過一定點P；（2）若直線分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點A，B，當面積最小時，求的周長；（3）當直線在兩坐標軸上的截距均為整數(shù)時，求直線的方程.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）見解析.【解析】（1）由得:；則，解得所以不論為何值，直線必過一定點；（2）由得，當時，，當時，，又由，得，∴,當且僅當，即時取等號∴，，∴的周長為；（3）直線在兩坐標軸上的截距均為整數(shù)，即，均為整數(shù)， 所以，均為整數(shù)，∴，，，，，0，，2，又當時，直線在兩坐標軸上的截距均為零，也符合題意，所以直線的方程為，，，，，，，.15．（2024·山東濟寧·高三?？奸_學考試）過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則線段的長度的范圍是．【答案】【解析】由題意知，，則圓心，半徑，如圖，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，連接AB，CA，CB，CP，則，易知，所以，有，，所以，得，當最小時，取得最大值，即點C到直線的距離為，此時，所以；又三點不共線，AB為圓C的一條弦，所以，所以，即線段AB的長度的取值范圍為.16．（2023·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）已知圓的圓心與點關于直線對稱，且圓與軸相切于原點.（1）求圓M的方程；（2）若在圓中存在弦，且弦中點在直線上，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2） 【解析】（1）設坐標，則，解得，即坐標圓與軸相切于圓方程.（2），圓半徑，軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則其軌跡方程為，又在直線上，直線與圓有公共點，即，.