重難點(diǎn)6-1 空間角與空間距離的求解（8題型+滿(mǎn)分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（原卷版）.docx

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重難點(diǎn)6-1空間角與空間距離的求解空間角與空間距離問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)與熱點(diǎn)考向。通常小題及解答題的第2小問(wèn)考查，難度中等。在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中除了掌握空間向量法，還需多鍛煉幾何法的應(yīng)用?！绢}型1幾何法求異面直線(xiàn)夾角】滿(mǎn)分技巧1、求異面直線(xiàn)所成角一般步驟：（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條成為相交直線(xiàn)．（2）證明：證明所作的角是異面直線(xiàn)所成的角．（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線(xiàn)所成的角．2、可通過(guò)多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：（1）直接平移法(可利用圖中已有的平行線(xiàn))；（2）中位線(xiàn)平移法；（3）補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線(xiàn))．【例1】（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的大小是（）A．B．C．D．【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面直徑，點(diǎn)在底面圓上．若為正三角形，且，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【變式1-2】（2024·廣東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【變式1-3】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，把沿折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，若三棱錐的外接球球心O到直線(xiàn)的距離為，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．0【變式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)是底面的中心，若該四棱臺(tái)的側(cè)面積為，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【題型2向量法求異面直線(xiàn)夾角】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿(mǎn)分技巧異面直線(xiàn)所成角：若分別為直線(xiàn)的方向向量，為直線(xiàn)的夾角，則.【例2】（2023·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【變式2-1】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知是圓錐底面的直徑，為底面圓心，為半圓弧的中點(diǎn)，，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式2-2】（2024·江西·高三統(tǒng)考期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式2-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）三棱錐中，平面，，.，點(diǎn)是面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值的取值范圍為（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式2-4】（2023·廣東汕頭·高三潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）A．B．C．D．【題型3幾何法求直線(xiàn)與平面夾角】滿(mǎn)分技巧1、垂線(xiàn)法求線(xiàn)面角（也稱(chēng)直接法）：（1）先確定斜線(xiàn)與平面，找到線(xiàn)面的交點(diǎn)B為斜足；找線(xiàn)在面外的一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向平面做垂線(xiàn)，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線(xiàn)AB在面上的投影；投影BO與斜線(xiàn)AB之間的夾角為線(xiàn)面角；（3）把投影BO與斜線(xiàn)AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線(xiàn)面角（也稱(chēng)等體積法）：用等體積法，求出斜線(xiàn)PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：sinθ=?l，其中θ是斜線(xiàn)與平面所成的角，?是垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，l是斜線(xiàn)段的長(zhǎng)。方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對(duì)于無(wú)棱二面角的求解很簡(jiǎn)便?！纠?】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，棱的中點(diǎn)分別為，，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【變式3-1】（2024·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，則直線(xiàn)與平面夾角的正弦值為（）A．B．C．D．【變式3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校聯(lián)考期末）過(guò)正四棱錐的高學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺(tái)的表面積之比為，則直線(xiàn)與底面所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，.（1）求證：平面平面；（2）求與平面所成角正弦值.【變式3-4】（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若為上一點(diǎn)，且，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【題型4向量法求直線(xiàn)與平面夾角】滿(mǎn)分技巧直線(xiàn)與平面所成角：設(shè)是直線(xiàn)的方向向量，是平面的法向量，直線(xiàn)與平面的夾角為.則.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例4】（2023·福建福州·高三校聯(lián)考期中）正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2023·上海嘉定·高三?？计谥校┰谡襟w中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，若直線(xiàn)與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式4-2】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）若，二面角的正切值為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【變式4-3】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【變式4-4】（2024·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，己知三棱臺(tái)的高為1，，為的中點(diǎn)，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大?。绢}型5幾何法求平面與平面夾角】滿(mǎn)分技巧1、定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線(xiàn)法）：提供了添輔助線(xiàn)的一種規(guī)律（1）方法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線(xiàn)．（2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線(xiàn)OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角2、三垂線(xiàn)法（面上一點(diǎn)雙垂線(xiàn)法）----最常用（1）方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線(xiàn)，再由垂足向棱作垂線(xiàn)得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線(xiàn)與斜足和垂足的連線(xiàn)所夾的角，即為二面角的平面角（2）具體演示：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線(xiàn)AB，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)B向棱a作垂線(xiàn)BO學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）（1）方法：過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角。（2）具體演示：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面積法求二面角【例5】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的外接球半徑為，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式5-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱錐中，且為正三角形，分別是的中點(diǎn)，若截面?zhèn)让妫瑒t此棱錐側(cè)面與底面夾角的余弦值為.【變式5-2】（2024·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．4B．2C．D．【變式5-3】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）將兩個(gè)相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱(chēng)為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（）A．B．C．D．【變式5-4】（2023·河北邢臺(tái)·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線(xiàn)段AC上，，，.（1）證明：；（2）設(shè)直線(xiàn)到平面的距離為，求二面角的大小.【題型6向量法求平面與平面夾角】滿(mǎn)分技巧平面與平面的夾角：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.【例6】（2024·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐中，，，平面，平面平面，是的中點(diǎn).學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求證：;（2）求平面與平面的夾角.【變式6-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，平面，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，，.（1）證明：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由.【變式6-2】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為矩形，，，，點(diǎn)M在棱PC上且．（1）證明：M為PC的中點(diǎn)；（2）求平面PBD與平面MDB的夾角．【變式6-3】（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，平面平面．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：平面；（2）若，二面角的余弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．【變式6-4】（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知是圓錐的底面直徑，C是底面圓周上的一點(diǎn)，，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【題型7幾何法解決空間距離問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧點(diǎn)面距的求解方法1、定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線(xiàn)，求出垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度；2、等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線(xiàn)距離；3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線(xiàn)上的點(diǎn)到面的距離．【例7】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞著邊旋轉(zhuǎn)至分別為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值為（）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【變式7-1】（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線(xiàn)所成的角為，則（）A．1B．C．1或2D．2或【變式7-2】（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則中點(diǎn)到平面的距離為．【變式7-3】（2024·陜西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱臺(tái)中，，，．（1）證明：；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）求點(diǎn)到平面的距離．【變式7-4】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則平面與平面之間的距離為（）A．B．C．D．【題型8向量法解決空間距離問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧點(diǎn)到平面的距離：已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作則平面的垂線(xiàn)，交平面于點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為（如圖）.注意：線(xiàn)面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。直線(xiàn)與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量?！纠?】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn).直線(xiàn)到平面的距離為（）.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【變式8-1】（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線(xiàn)段上，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為（）A．B．C．D．1【變式8-2】（2023·河北邢臺(tái)·高三寧晉中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知四棱臺(tái)中，底面為正方形，，，，⊥底面．（1）證明：．（2）求到平面的距離．【變式8-3】（2024·重慶·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：平面；（2）若直線(xiàn)與圓柱底面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【變式8-4】（2024·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，將圓沿直徑折成直二面角，已知三棱錐的頂點(diǎn)在半圓周上，在另外的半圓周上，.（1）若，求證：；（2）若，，直線(xiàn)與平面所成的角為，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐底面是矩形，其中，，側(cè)棱底面，E為的中點(diǎn)，四棱錐的外接球表面積為，則直線(xiàn)與所成角的正弦值為（）A．B．C．D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 2．（2023·上海虹口·高三?？计谥校┤鐖D所示，在正方體中，E為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線(xiàn)中與直線(xiàn)CE夾角為定值的直線(xiàn)為（）A．直線(xiàn)B．直線(xiàn)C．直線(xiàn)D．直線(xiàn)3．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．4．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為塹堵，在塹堵中，若，若為線(xiàn)段中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A．B．C．D．5．（2023·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中?？茧A段練習(xí)）如圖1，某廣場(chǎng)上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的正三棱錐得到的，它的所有棱長(zhǎng)均相同，數(shù)學(xué)上我們稱(chēng)之為半正多面體（semiregularsolid），亦稱(chēng)為阿基米德多面體，如圖2，設(shè)，則平面與平面之間的距離是（）A．B．C．D．6．（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）（多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)到的距離為B．面與面的距離為C．直線(xiàn)與平面所成的角為D．點(diǎn)到平面的距離為學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．Q到平面的距離為C．與所成角的取值范圍為D．三棱錐外接球體積的最小值為8．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線(xiàn)與所成角的正弦值為．9．（2024·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在圓臺(tái)中，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A(yíng)、B的一點(diǎn)，,點(diǎn)D是的中點(diǎn)，為平面與平面的交線(xiàn)，則交線(xiàn)與平面所成角的大小為．10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，為的中點(diǎn)．（1）求異面直線(xiàn)與所成的角；（2）求二面角的余弦值．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 11．（2024·重慶九龍坡·高三重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖．在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，面底面，是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，且二面角的大小為，求異面直線(xiàn)與所成角的正切值．12．（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，，，，二面角的大小為.（1）求四邊形的面積；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司