上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三3月月考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三下3月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.若集合，，則__________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)交集運(yùn)算即可.【詳解】∵集合，，∴.故答案為：.2.函數(shù)（且）的值域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】題目中的函數(shù)是由反比例函數(shù)向左平移一個(gè)單位之后得到的，結(jié)合圖像以及定義域，即可求出函數(shù)的值域【詳解】畫出函數(shù)（且）的圖像如上圖所示，是由反比例函數(shù)向左平移一個(gè)單位之后，選取部分圖像得到的，當(dāng)時(shí)，且取不到，所以結(jié)合圖像可知，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.3.若、滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_______【答案】【解析】【分析】由、滿足約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移直線，由直線在y軸上的截距最小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值求解.【詳解】由、滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的y軸上的截距最小，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為-2，故答案為：-24.的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】 求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再將參數(shù)的值代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，因此，的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.有五張寫有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1張記好數(shù)字后放回，這樣抽4次，則抽到的最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4的概率是________【答案】【解析】【分析】五張不同的卡片，有放回的抽4次，共有種不同的取法，最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4的取法指所選的數(shù)字均來(lái)自1，2，3，4或者2，3，4，5的情況，再去掉重復(fù)的部分——所選的數(shù)字均來(lái)自2，3，4的情況，再利用概率公式即可求概率.【詳解】有五張寫有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1張記好數(shù)字后放回，這樣抽4次，共有種不同的取法，差值可能為1、2、3、4，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，則4次抽取中5或1沒(méi)有抽到，沒(méi)有抽到1的有沒(méi)有抽到5的有，5和1都沒(méi)有抽到的有種，所以抽到的最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4有種，所以抽到的最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4的概率故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型求概率，涉及排列組合知識(shí)，屬于中檔題.6.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】 【分析】作出圖形，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值即可得解.【詳解】對(duì)于雙曲線，則，，，如下圖所示：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長(zhǎng)度和、差的最值，都可以通過(guò)相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問(wèn)題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過(guò)連接圓外的點(diǎn)與圓心來(lái)分析求解.7.在中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，若，，若滿足條件的三角形僅有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值集合是__________.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)三角形的解得個(gè)數(shù)，利用余弦定理結(jié)合根的判別式即可得解.【詳解】中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，若，，根據(jù)余弦定理：，整理得：，利用，解得或（負(fù)值舍去）.若，則有一根為正數(shù)，另一根為非正數(shù)，所以，解得.故答案為：.8.設(shè)函數(shù)，其中.若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,,則,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,取零點(diǎn)時(shí),,即,則當(dāng)時(shí),,,,所以滿足,解得故答案為：點(diǎn)睛】本題考查已知零點(diǎn)求參數(shù)問(wèn)題,考查運(yùn)算能力 9.歐拉公式，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列前2022項(xiàng)的乘積為_(kāi)_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，，然后根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則求積，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)定義求結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為:.10.若對(duì)于任意，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得到，進(jìn)而對(duì)分類討論求出的最小值即可求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，，易得，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∵對(duì)于任意，都存在，使得，∴，故的取值范圍為. 故答案為：.11.已知函數(shù)，其定義域?yàn)椋艉瘮?shù)在其定義域上有反函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】函數(shù)具有反函數(shù)的充要條件是函數(shù)中的是一一對(duì)應(yīng)的，所以若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)的，則必有反函數(shù)，若不單調(diào)，但是一一對(duì)應(yīng)的，也具有反函數(shù)，根據(jù)這一條件進(jìn)行判斷即可【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，其定義域?yàn)?，故?dāng)，即時(shí)，在其定義域上單調(diào)遞增，存在反函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，在其定義域上單調(diào)遞減，存在反函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由于區(qū)間關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱區(qū)間是，保證一個(gè)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)，則根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，應(yīng)有，或時(shí)，即或.若對(duì)稱軸在或的范圍內(nèi)，則一定沒(méi)有反函數(shù)綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.12.用表示函數(shù)在閉區(qū)間I上的最大值．若正數(shù)a滿足，則a的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】分類討論，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出、，代入不等式求解a的取值范圍即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，， 若，則，此時(shí)不成立；②當(dāng)時(shí)，，若，則，又，解得；③當(dāng)時(shí)，，若，則，又，解得；④當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意.綜上所述，，即a的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯推理能力、直觀想象能力，屬于中檔題.二、選擇題（本大題共有4小題，滿分20分，每題5分）13.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)如下變換得到：先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將其圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【詳解】函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)如下變換得到：先將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得的圖象，再將其圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，縱坐標(biāo)不變得到函數(shù)，令，可得的圖象的對(duì)稱軸方程為，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為，故選A.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖象變換.14.已知數(shù)列，以下兩個(gè)命題：①若都是遞增數(shù)列，則都是遞增數(shù)列；②若都是等差數(shù)列，則都是等差數(shù)列，下列判斷正確的是（）A.①②都是真命題B.①②都是假命題C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題【答案】D【解析】【分析】①假設(shè)為遞增數(shù)列，為常數(shù)列即可判斷命題真假；②根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷即可判斷.【詳解】①若為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，則都為遞增數(shù)列，故為假命題；②若、、分別為的公差，，則，可得，所以為等差數(shù)列，同理可得也為等差數(shù)列，故為真命題.故選：D15.運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2 ），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖3），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由類比推理可知所求幾何體體積為在底面半徑，高的圓柱內(nèi)，挖出一個(gè)以該圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，上底面為底面的圓錐后，得到的新的幾何體體積的倍，借助圓錐和圓柱體積公式可求得結(jié)果.【詳解】類比推理可知：若在底面半徑，高的圓柱內(nèi)，挖出一個(gè)以該圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，上底面為底面的圓錐后，得到一新的幾何體，則新幾何體與所求橄欖狀幾何體的一半的體積相等.所求體積.故選：C.16.眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，整個(gè)圖形是一個(gè)圓形，其中黑色陰影區(qū)域在軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，已知直線：.給出以下命題： ①當(dāng)時(shí)，若直線截黑色陰影區(qū)域所得兩部分面積記為，（），則；②當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域有1個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域有2個(gè)公共點(diǎn).其中所有正確命題的序號(hào)是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】【分析】由題知根據(jù)直線：橫過(guò)點(diǎn)，為直線的斜率根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系作圖，數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)分析判斷即可得解【詳解】如圖1所示，大圓的半徑為2，小圓的半徑為1，所以大圓的面積為，小圓的面積為．對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，直線的方程為．此時(shí)直線將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，，，所以，故①正確．對(duì)于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為 當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，小圓圓心到直線的距離，所以直線與該半圓弧相切，如圖2所示，所以直線與黑色陰影區(qū)域只有一個(gè)公共點(diǎn)，故②正確．對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，如圖3所示，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)誤．綜上所述，①②正確．故選：A．三、解答題（本大題共5題，滿分76分）17.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，為棱上一點(diǎn)． （1）若，求異面直線和所成的角；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）或或；（2）．【解析】【分析】（1）先證明異面直線和所成角即為或其補(bǔ)角，再求得解；（2）利用等體積法求解即可.【詳解】解：（1）由題意，，，得∵，所以異面直線和所成角即為或其補(bǔ)角，長(zhǎng)方體中，，∴面，∴，故可得為銳角且或或. 所以異面直線和所成的角為或或.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，．所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離常用的方法有：（1）向量法；（2）幾何法（找作證指求）；（3）等體積法.要根據(jù)已知條件靈活選擇合適的方法求解.18.某公共場(chǎng)所計(jì)劃用固定高度的板材將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域沿邊界圍成一個(gè)封閉的留觀區(qū).經(jīng)測(cè)量，邊界與的長(zhǎng)度都是米，，.（1）若，求的長(zhǎng)（結(jié)果精確到米）；（2）求圍成該區(qū)域至多需要多少米長(zhǎng)度的板材（不計(jì)損耗，結(jié)果精確到米）.【答案】（1）米；（2）米.【解析】【分析】（1）連接，可知是等邊三角形，可得出，求出的值，利用正弦定理可求得的長(zhǎng)；（2）設(shè)，利用正弦定理得出，，進(jìn)而可得出圍成該區(qū)域所需板材的長(zhǎng)度關(guān)于的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的有界性可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，由題意是等邊三角形，所以， 又因?yàn)椋?，在中，，得（米）；?）設(shè)，則，，在中，，所以，，所需板材的長(zhǎng)度為.答：當(dāng)時(shí)，所需板材最長(zhǎng)為（米）.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決三角形中的最值問(wèn)題時(shí)，常用兩種思路：（1）轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式求解；（2）轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)的有界性來(lái)求解.19.已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由;（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)u的最大值【答案】（1），奇函數(shù)，，非奇非偶函數(shù)；理由見(jiàn)解析；（2）3.【解析】【分析】（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可求得的值；又，則 不可能為偶函數(shù)，即時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，化簡(jiǎn)不等式參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出最值，代入得出實(shí)數(shù)u的最大值．【詳解】（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，對(duì)恒成立，所以，解得，又，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，所以不可能為偶函數(shù)，所以時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)任意的，不等式恒成立，令，令，因?yàn)?，在是增函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以實(shí)數(shù)u的最大值是3.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)奇偶性的定義，考查對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．20.已知、是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于、 的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線、、、的斜率分別為、、、.（1）若雙曲線的漸近線方程是，且過(guò)點(diǎn)，求的方程；（2）在（1）的條件下，如果，求的面積；（3）試問(wèn)：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）面積為；（3）定值為.【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求出的值，可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，則，由點(diǎn)在雙曲線上得出，可得出，利用斜率公式以及條件可求出射線的方程，由此可得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此計(jì)算出的面積；（3）由題意得出，設(shè)點(diǎn)、，則，利用斜率公式得出，，由此可得出的值.【詳解】（1）由于雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，因此，雙曲線的方程為；（2）設(shè)射線所在直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則， 因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，可得.，.所以，射線所在直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，解得，所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因此，的面積為；（3）設(shè)點(diǎn)、，由于點(diǎn)在雙曲線上，則，得，，，，同理可得，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，同時(shí)也考查了雙曲線中三角形面積的計(jì)算以及橢圓、雙曲線中的直線斜率的關(guān)系，解題時(shí)要充分利用點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的等式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.21.對(duì)于數(shù)列，定義設(shè)的前項(xiàng)和為.（1）設(shè)，寫出；（2）證明：“對(duì)任意，有”充要條件是“對(duì)任意，有”；（3）已知首項(xiàng)為0，項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：①對(duì)任意且，有；②.求所有滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù). 【答案】（1），，，；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意代入可得答案；（2）必要性：有，，將兩式作差，得；充分性：若對(duì)任意，有，則，可得證；（3）不妨假設(shè)中，有項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)，建立方程組，解之可得項(xiàng)中組，且滿足，從而求得答案.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，，，，根?jù)題意可得，，，.（2）必要性：對(duì)，有，因此.對(duì)任意且，有，，兩式作差，得，即，因此.綜上，對(duì)任意，有充分性：若對(duì)任意，有，則，所以.綜上，“對(duì)任意，”的充要條件是“對(duì)任意，”.（3）已知，即中，不妨假設(shè)中，有項(xiàng)，項(xiàng)，項(xiàng)，則，且， 所以項(xiàng)中組，且滿足，，所以可知與固定，且項(xiàng)中有一項(xiàng)為，所以共有個(gè)；