[理學]常微分方程 第五講：全微分方程

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1、第五講全微分方程與積分因子三、積分因子法一、全微分方程與原函數(shù)二、全微分方程判定定理與不定積分法四、小結1定義:即若例如全微分方程或恰當方程是全微分方程，一、全微分方程與原函數(shù)的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，則稱（1）為全微分方程或恰當方程，稱為（1）的一個原函數(shù)。是方程的一個原函數(shù)。2容易證明，如果是微分方程（1）的一個原函數(shù)，則（1）的通積分為其中C為任意常數(shù)。于是，求解全微分方程的關鍵在于求出它的一個原函數(shù)。例如3我們通過觀察尋找方程的一個原函數(shù)。對于一個一般的方程，怎樣判斷它是否是全微分方程

2、呢？若是，又怎樣求原函數(shù)？45二、全微分方程判定定理與不定積分法定理：設函數(shù)M(x,y)、N(x,y)在xoy平面上的單連通區(qū)域D內連續(xù)可微，那么方程(1)是全微分方程的充要條件是在D內恒成立演示證明。67一般地，若為全微分方程，則它的通積分為從而求得一個原函數(shù)8解是全微分方程,原方程的通解為例2910解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例31112定義:問題:如何求方程的積分因子?3、積分因子法前面我們討論了全微分方程的求解問題，而對于給定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其中有些則可利用

3、積分因子化為全微分方程。13我們用反推的辦法來求積分因子為了求出積分因子，必須求解上式，不容易。但對于某些特殊情況，上式可求解。（2）為全微分方程1415以上求積分因子的方法稱為公式法。16例1:求解微分方程：解郁無關17思考與練習：試求一階線性方程和Bernoulli方程的積分因子例1:求解微分方程：例2:求解微分方程：18例3解則原方程化為可積組合法19原方程的通解為(公式法)觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達式20受上述結論的啟發(fā)通常我們經(jīng)?？梢赃x用的積分因子有：這種方法給我們又提供了一種

4、求解微分方程的方法---可積（微）組合法，請看下面的例子：21解將方程左端重新組合,有例4求微分方程原方程的通解為22解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例5求微分方程23解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例6一題多解：24解2整理得A用公式:B湊微分法:25C不定積分法:原方程的通解為26作業(yè)：P38T1（1）（3）（5）,T2,T5拓展思維訓練題：27若能從(1)解出y的一階導數(shù)，那么會得到一個或幾個顯式方程，用前面的辦法求解。前面討論的方程都是可解出一階導數(shù)的微分方程，即顯式方程（）

5、一階隱式微分方程是指第六講一階隱式方程的解法例1:試求解微分方程：28本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程的求解方法。（1）不含y（或x）的方程（2）可解出x的方程（3）可解出y的方程若不能從(1)解出y的一階導數(shù)，或者即使能解出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進行討論。291、若方程（1）不含y，即30例13132例2：若方程（1）不含x，即則完全類似求解。例3：例4：332、若可從方程（1）解出x，即解法：這個方程可化為顯式形式，用前面類似的方法能求出（1）的解。34例535363、若可從方程（1）

6、解出y，即解法：373839例64041例7424344小結（1）可解出y的方程（2）可解出x的方程（3）不含x（或y）的方程**借助于一些變量代換，可將隱式形式的方程化為顯式方程。**借助于一些變量代換，將隱式形式的方程化為參數(shù)形式方程。45作業(yè)：P46（2）（4）（6）(8)(10)46