矢量分析與場(chǎng)論.doc

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1、矢量分析與場(chǎng)論矢量分析是矢量代數(shù)和微機(jī)分運(yùn)算的結(jié)合和推廣，主要研究矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等。而場(chǎng)論則是借助于矢量分析這個(gè)工具，研究數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的有關(guān)概念和性質(zhì)。通過(guò)這一?部分的學(xué)習(xí)，可使讀者掌握矢量分析和場(chǎng)論這兩個(gè)數(shù)學(xué)工具，并初步接觸到算子的概念及其簡(jiǎn)單用法，為以后學(xué)習(xí)有關(guān)專(zhuān)業(yè)課程和解決實(shí)際問(wèn)題，打下了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第1章矢量分析在矢量代數(shù)屮，曾經(jīng)討論過(guò)模和方向都保持不變的矢量，這種矢量稱(chēng)為常矢。然而，在科學(xué)和技術(shù)的許多問(wèn)題屮，也常遇到模和方向改變或其屮之一會(huì)改變的矢量，這種矢量稱(chēng)為變矢。如非等速及非直線運(yùn)動(dòng)物體的速度就是

2、變矢量的典型例子。變矢量是矢量分析研究的重要對(duì)象。本章主要討論變矢與數(shù)性變量Z間的對(duì)應(yīng)關(guān)系——矢函數(shù)及微分、積分和它們的一些主要性質(zhì)。§1」矢函數(shù)與普通數(shù)量函數(shù)的定義類(lèi)似，我們引進(jìn)矢性函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)矢函數(shù))的概念，進(jìn)而結(jié)出矢函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念。1、矢函數(shù)的概念定義1.1.1設(shè)有數(shù)性變量f和變矢A,如果對(duì)于f在某個(gè)范圍D內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值，A都以一個(gè)確定的矢量和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)A為數(shù)性變量F的矢量函數(shù)，記作A=A(r)(1」」)并稱(chēng)D為矢函數(shù)A的定義域。在Oxw直角坐標(biāo)系屮，用矢量的坐標(biāo)表示法，矢函數(shù)可寫(xiě)成A(r)={Av(r),Av(r),AXO}

3、(1丄2)其屮人⑴,心⑴,厶⑴都是變量『的數(shù)性函數(shù)，可見(jiàn)一個(gè)矢函數(shù)和三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。即在空間直角坐標(biāo)系下，?個(gè)矢函數(shù)相半于三個(gè)數(shù)性函數(shù)。本章所講的矢量均指自由矢量，所以，以后總可以把A(/)的起點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣半/變化時(shí)，A(f)的終點(diǎn)M就描繪出一?條曲線/(圖1.1),這樣的曲線稱(chēng)為矢函數(shù)A(f)的矢端曲線，也稱(chēng)為矢函數(shù)A⑴的圖形。同時(shí)稱(chēng)(1.1.1)式或(1.1.2)式為此曲線的矢量方程。愿點(diǎn)。也稱(chēng)為矢端曲線的極。由于終點(diǎn)為M(x,y,z)的矢量麗對(duì)于原點(diǎn)0的矢徑為r—0M=xi+yj+zk當(dāng)把A⑴的起點(diǎn)取在坐標(biāo)原

4、點(diǎn)吋，A⑴實(shí)際上就成為其終點(diǎn)M(x,y,z)的矢徑，因此A⑴的三個(gè)坐標(biāo)AV(O,AV(O,4⑴就對(duì)應(yīng)地等于其終點(diǎn)M的三個(gè)坐標(biāo)即x=Aa.⑴,y=Av(r),=Az(t)(1.1.3)此式就是曲線/的參數(shù)方程。只是模變化血方向不變的矢量，它的矢端曲線是通過(guò)記得射線。只改變方向而模不變的矢量，它的矢鍛曲線是位于以極為屮心模為半徑的球面上的某一曲線。2、矢函數(shù)的極限和連續(xù)性定義1.1.2設(shè)矢函數(shù)A(f)在點(diǎn)匚的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義(但在—處可以無(wú)定義)，A。為一常矢。若對(duì)于任意給定的正數(shù)￡,都存在一個(gè)正數(shù)力，使當(dāng)/滿(mǎn)足0v/—厲v力時(shí)，就有IA(0—A

5、olfoS(1.1.7)lim[A(t)xB(r)]=limA(f)xlimB(r)fT"!t(1.1.8)其中％(/)為數(shù)性函數(shù)，A(r),B(f)為矢函數(shù);且r

6、->/0時(shí)，“(0,A(r),B(f)的極限均存在。若設(shè)A(r)=Ax(r)i+Av(t)j+Az(r)k則由法則(1.1.6)與(1.1.5)有l(wèi)imA(r)=limAV(Z)i+limA(f)j+limA.(r)k(1.1.9)fTb/T/°即求…個(gè)矢函數(shù)的極限可以歸結(jié)為求三個(gè)數(shù)性函數(shù)的極限。定義1.1.3若矢函數(shù)A(°在-的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且有l(wèi)imA(r)=A(r0)(1.1.10)則稱(chēng)A⑴在/=5處連續(xù)。即矢函數(shù)A⑴在r。處連續(xù)的充分必要條件是它的三個(gè)坐標(biāo)函數(shù)人(r),4),⑴,⑴都￥匸to處連續(xù)。若矢函數(shù)A(0在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的每一

7、點(diǎn)處都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)A(r)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)。或稱(chēng)A⑴是該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。§1.2矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分矢函數(shù)的微分法是矢量分析的重要內(nèi)容，在空間直角坐標(biāo)系屮，一個(gè)矢量與三個(gè)數(shù)量(坐標(biāo))構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而矢函數(shù)也有類(lèi)似于數(shù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分概念及運(yùn)算法則。1、矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)有起點(diǎn)在原點(diǎn)O的矢函數(shù)A(『)，當(dāng)數(shù)性變量/在其定義域內(nèi)從/變到0)時(shí)，對(duì)應(yīng)的矢量分別為A(/+d)=顧如圖1.2.1,貝I」A(r+Ar)=O^V?A(t)=MN稱(chēng)為矢函數(shù)A⑴的增量，記作△A(r),即△A(r)=A(r+Ar)?A⑴據(jù)此，我們給出矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義。定義1

8、.2.1設(shè)矢函數(shù)A(/)在點(diǎn)f的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)/+△/也在這鄰域內(nèi)，若A⑴對(duì)應(yīng)于&的增量△A⑴與dZ比酗)_他+$)_他)ArAr半&T0時(shí)，其極限存在，