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《矢量分析與場論.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、矢量分析與場論矢量分析是矢量代數(shù)和微機分運算的結(jié)合和推廣，主要研究矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等。而場論則是借助于矢量分析這個工具，研究數(shù)量場和矢量場的有關(guān)概念和性質(zhì)。通過這一?部分的學(xué)習(xí)，可使讀者掌握矢量分析和場論這兩個數(shù)學(xué)工具，并初步接觸到算子的概念及其簡單用法，為以后學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)課程和解決實際問題，打下了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第1章矢量分析在矢量代數(shù)屮，曾經(jīng)討論過模和方向都保持不變的矢量，這種矢量稱為常矢。然而，在科學(xué)和技術(shù)的許多問題屮，也常遇到模和方向改變或其屮之一會改變的矢量，這種矢量稱為變矢。如非等速及非直線運動物體的速度就是
2、變矢量的典型例子。變矢量是矢量分析研究的重要對象。本章主要討論變矢與數(shù)性變量Z間的對應(yīng)關(guān)系——矢函數(shù)及微分、積分和它們的一些主要性質(zhì)。§1」矢函數(shù)與普通數(shù)量函數(shù)的定義類似，我們引進矢性函數(shù)(簡稱矢函數(shù))的概念，進而結(jié)出矢函數(shù)的極限與連續(xù)性等概念。1、矢函數(shù)的概念定義1.1.1設(shè)有數(shù)性變量f和變矢A,如果對于f在某個范圍D內(nèi)的每一個數(shù)值，A都以一個確定的矢量和它對應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量F的矢量函數(shù)，記作A=A(r)(1」」)并稱D為矢函數(shù)A的定義域。在Oxw直角坐標系屮，用矢量的坐標表示法，矢函數(shù)可寫成A(r)={Av(r),Av(r),AXO}
3、(1丄2)其屮人⑴,心⑴,厶⑴都是變量『的數(shù)性函數(shù)，可見一個矢函數(shù)和三個有序的數(shù)性函數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系。即在空間直角坐標系下，?個矢函數(shù)相半于三個數(shù)性函數(shù)。本章所講的矢量均指自由矢量，所以，以后總可以把A(/)的起點取在坐標原點。這樣半/變化時，A(f)的終點M就描繪出一?條曲線/(圖1.1),這樣的曲線稱為矢函數(shù)A(f)的矢端曲線，也稱為矢函數(shù)A⑴的圖形。同時稱(1.1.1)式或(1.1.2)式為此曲線的矢量方程。愿點。也稱為矢端曲線的極。由于終點為M(x,y,z)的矢量麗對于原點0的矢徑為r—0M=xi+yj+zk當把A⑴的起點取在坐標原
4、點吋，A⑴實際上就成為其終點M(x,y,z)的矢徑，因此A⑴的三個坐標AV(O,AV(O,4⑴就對應(yīng)地等于其終點M的三個坐標即x=Aa.⑴,y=Av(r),=Az(t)(1.1.3)此式就是曲線/的參數(shù)方程。只是模變化血方向不變的矢量，它的矢端曲線是通過記得射線。只改變方向而模不變的矢量，它的矢鍛曲線是位于以極為屮心模為半徑的球面上的某一曲線。2、矢函數(shù)的極限和連續(xù)性定義1.1.2設(shè)矢函數(shù)A(f)在點匚的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義(但在—處可以無定義)，A。為一常矢。若對于任意給定的正數(shù)￡,都存在一個正數(shù)力，使當/滿足0v/—厲v力時，就有IA(0—A
5、olfoS(1.1.7)lim[A(t)xB(r)]=limA(f)xlimB(r)fT"!t(1.1.8)其中％(/)為數(shù)性函數(shù)，A(r),B(f)為矢函數(shù);且r
6、->/0時，“(0,A(r),B(f)的極限均存在。若設(shè)A(r)=Ax(r)i+Av(t)j+Az(r)k則由法則(1.1.6)與(1.1.5)有l(wèi)imA(r)=limAV(Z)i+limA(f)j+limA.(r)k(1.1.9)fTb/T/°即求…個矢函數(shù)的極限可以歸結(jié)為求三個數(shù)性函數(shù)的極限。定義1.1.3若矢函數(shù)A(°在-的某個鄰域內(nèi)有定義，且有l(wèi)imA(r)=A(r0)(1.1.10)則稱A⑴在/=5處連續(xù)。即矢函數(shù)A⑴在r。處連續(xù)的充分必要條件是它的三個坐標函數(shù)人(r),4),⑴,⑴都￥匸to處連續(xù)。若矢函數(shù)A(0在某個區(qū)間內(nèi)的每一
7、點處都連續(xù)，則稱函數(shù)A(r)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)?；蚍QA⑴是該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)?！?.2矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分矢函數(shù)的微分法是矢量分析的重要內(nèi)容，在空間直角坐標系屮，一個矢量與三個數(shù)量(坐標)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，因而矢函數(shù)也有類似于數(shù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分概念及運算法則。1、矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)有起點在原點O的矢函數(shù)A(『)，當數(shù)性變量/在其定義域內(nèi)從/變到0)時，對應(yīng)的矢量分別為A(/+d)=顧如圖1.2.1,貝I」A(r+Ar)=O^V?A(t)=MN稱為矢函數(shù)A⑴的增量，記作△A(r),即△A(r)=A(r+Ar)?A⑴據(jù)此，我們給出矢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義。定義1
8、.2.1設(shè)矢函數(shù)A(/)在點f的某一個鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)/+△/也在這鄰域內(nèi)，若A⑴對應(yīng)于&的增量△A⑴與dZ比酗)_他+$)_他)ArAr半&T0時，其極限存在，
