求二次函數(shù)最值的幾種形式.doc

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1、求二次函數(shù)最值的幾種形式永州市第五中學(xué)何杰二次函數(shù)模型是重要的函數(shù)模型，在人教版高中《數(shù)學(xué)》必修②中占了大量的篇幡，詳盡介紹了二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，特別是二次函數(shù)的最值問題是近年來高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)問題，而求二次函數(shù)的最值歸納起來主要有三種形式：（1）軸定區(qū)間定;（2）軸定區(qū)間動(dòng)，（3）軸動(dòng)區(qū)間定，一般來說，討論二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，主要看區(qū)間是落在二次函數(shù)的哪一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，從而用相應(yīng)的單調(diào)性來求最值。下面就新教材，通過例子具體談一談二次函數(shù)最值的幾種形式的探求方法。1軸定區(qū)間定由于這種類型的二次函數(shù)的對(duì)稱軸是固定的，區(qū)間也是固定的，因而求它的最值，只要直接應(yīng)

2、用單調(diào)性求出最值即可。例1（2002年高考數(shù)學(xué)上海卷）。（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間[－5，5]上是單調(diào)函數(shù)。解：（1）當(dāng)時(shí)，，由于對(duì)稱軸為，區(qū)間為[－5，5]，而當(dāng)1≤≤5時(shí)，是單調(diào)遞增的；當(dāng)-5≤≤1時(shí)，是單調(diào)遞增的，所以[]＝。（2），所以對(duì)稱軸為，由數(shù)形結(jié)合易知，當(dāng)-≥5，即≤-5時(shí)，在區(qū)間[-5,5]上單調(diào)遞減；當(dāng)-≤-5，即≥5時(shí)，在區(qū)間[-5,5]上單調(diào)遞增。綜上可知，當(dāng)≤-5時(shí)，在區(qū)間[-5,5]上單調(diào)遞減；當(dāng)≥5時(shí)，在區(qū)間[-5,5]上單調(diào)遞增。注：這種類型的最值的求解一般比較簡(jiǎn)單，只要注意在區(qū)間上的單調(diào)性

3、即可。2軸定區(qū)間動(dòng)由于這種形式的對(duì)稱軸是固定的，而區(qū)間是變動(dòng)的，因而求它的最值必須要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果。例2已知函數(shù)的最小值為,寫出的表達(dá)式。分析：所求二次函數(shù)解析式固定，區(qū)間變動(dòng)，可考慮區(qū)間在變動(dòng)過程中二次函數(shù)的單調(diào)性，從而利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出此函數(shù)在區(qū)間上的最值。解：，所以對(duì)稱軸為固定，而區(qū)間[t,t+1]是變動(dòng)的，因此有（1）當(dāng)t+1≤－，即t≤－時(shí)，h(t)=f(t+1)=;（2）當(dāng)＞－時(shí)，;（3）當(dāng)t≤－＜t+1，即－＜≤－時(shí)，。，綜上可知=－，。注：注意分類討論思想（不重不漏）在解題中的應(yīng)用。3軸動(dòng)區(qū)間定這種形式的二次函數(shù)對(duì)稱軸是變動(dòng)的，面區(qū)

4、間是固定的，要求其最值，需要討論對(duì)稱軸在區(qū)間端點(diǎn)之間、端點(diǎn)之外時(shí)的各種情況才能確定。例3若的最小值為g()。（1）求g()的表達(dá)式；（2）求能使g()=的值，并求出當(dāng)取此值時(shí)，的最大值。分析：這是一個(gè)定區(qū)間，動(dòng)對(duì)稱軸的最值問題，要求它的最值要由定區(qū)間看動(dòng)軸的不同變化，再由函數(shù)單調(diào)性求出最值。解：（1），令，所以對(duì)稱軸是變動(dòng)的，而是定區(qū)間，于是有當(dāng)＜－1，即＜－2時(shí)，；當(dāng)－1≤≤1，即－2≤≤2時(shí)，時(shí)取得最小值，即；當(dāng)＞1，即＞2時(shí)，。1－4（＞2），綜上所述，g()=1(＜－2）（2）當(dāng)g()=，即1－4=或－－2－1=時(shí)，由于1－4=得=，顯然不合題意，故只有－

5、2－1=，即=－3（舍去）或=－1，因?yàn)椤?≤≤2才符合題意，所以當(dāng)g()=時(shí)，=－1，所以，因此，當(dāng)。注：求此類問題的最值時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用，同時(shí)要注意區(qū)間的隱含范圍。例4已知≤≤1，若函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最大值為M（），最小值為N（），令g()=M（）－N（）。（1）求g()的表達(dá)方式；（2）判斷函數(shù)g()的單調(diào)性，并求出g()的最小值。解：（1）。當(dāng)1≤≤2，即≤≤1時(shí)，M（）=f(1)=9－5,N（）=[，∴g()=M（）－N（）=+＜綜上可知g()=9+≤≤1）（2）當(dāng)＜≤＜0，∴g()在區(qū)間[]上單調(diào)遞減，最小值是g(≤＜≤1時(shí)，g()－g

6、()=()＞0，∴g()在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞增，最小值是g()=。注：利用對(duì)稱軸的可變性求最值時(shí)，一定要時(shí)刻關(guān)注對(duì)稱軸在區(qū)間上的變化。4最值在其他方面的應(yīng)用利用二次函數(shù)在指定區(qū)間上取得最值，可以求函數(shù)的表達(dá)式以及參數(shù)的取值及取值范圍。例5已知函數(shù)g()=是二次函數(shù)，當(dāng)且函數(shù)的表達(dá)式。解：設(shè)為奇函數(shù)?！唷?，∴對(duì)稱軸為且，所以分三種情況進(jìn)行討論。（1）當(dāng),∴。（2）當(dāng)應(yīng)最小，∴=1不合題意。（3）當(dāng)3－，。綜上可知。例6已知函數(shù)在區(qū)間[－，2]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值。分析：由題知上的最大值為1，可能在—、2和頂點(diǎn)處取得，因而要求的值就必須進(jìn)行討論。（1）令＜0，

7、=1不合題意。（2）令＞0，且距右端點(diǎn)2較遠(yuǎn)，∴最大符合題意。（3）令，驗(yàn)證后只有才適合。綜上可知。注：利用二次函數(shù)的最值確定參數(shù)的取值，一定要注意取得最值時(shí)的位置，并要加以驗(yàn)證才可以，當(dāng)然還可以利用它進(jìn)行一些探究性研究等。