利用變式訓(xùn)練促進(jìn)能力培養(yǎng)姜永文毛明華

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1、利用變式訓(xùn)練促進(jìn)能力培養(yǎng)江山市上余鎮(zhèn)初中姜永文毛明華一、題目：如圖1，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EFABCDGEF圖1二、設(shè)計(jì)意圖：在初三第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，這是在很多資料上都能見到的一個(gè)基本習(xí)題，此題集正方形的性質(zhì)、余角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形全等或相似的判定和性質(zhì)、添輔助線等知識(shí)與方法于一體，是一個(gè)很好的復(fù)習(xí)訓(xùn)練題。但在農(nóng)村初中，根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，一個(gè)班級(jí)只有少數(shù)學(xué)生能較順利地解決。而在2009年，山東省臨沂市更是把此題進(jìn)行改編，作為一個(gè)中考題（見下面）。為了在有限的復(fù)習(xí)時(shí)間內(nèi)，讓學(xué)生達(dá)到“做一

2、題，通一類”及提高綜合數(shù)學(xué)能力的教學(xué)效果，筆者在本學(xué)期復(fù)習(xí)時(shí)，以此題為基礎(chǔ)，通過改編和創(chuàng)編，進(jìn)行了一題多證、一題多變的教學(xué)設(shè)計(jì)，收到了較好的教學(xué)效果?！靖剑?009年山東省臨沂市數(shù)學(xué)中考第25題】數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=E

3、F”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由．ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖3三、使用情況：在教學(xué)過程中，筆者并不是把上述中考題和盤托出，而是先給出最特殊的情形（即本文前的題目），讓學(xué)生進(jìn)行“一題多證”的探究，然后通過改變題目條件，進(jìn)行“一題多變”的探究訓(xùn)練，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)題的神奇變化和本題的一般性規(guī)律，并享受到探究成功帶來的愉悅之感。具體情況如

4、下：1.證法探究教師：請(qǐng)認(rèn)真分析題意和圖形，相信你能找到證明的方法。以下是三位學(xué)生的不同方法：ABCDGEF圖2H123學(xué)生1：如圖2，過F作FH⊥CG于H，并設(shè)，由題易知：,,∵∠AEF=90°,∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∴Rt△ABE∽R(shí)t△EHF∴化簡得，即BE=FH∴Rt△ABE≌Rt△EHF∴AE=EF學(xué)生2：如圖3，過F作FH⊥CG于H∵∠AEF=90°ABCDGEF圖3H123∴∠2+∠3=90°又∵∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∴Rt△ABE∽R(shí)t△EHF∴∵E是BC的中點(diǎn)，∴又∵CF平分∠DCG∴∠FCH=∠CFH=45°∴CH=FH∴∴EC=CH∴AB=BC=2

5、EC=EH∴Rt△ABE≌Rt△EHF∴AE=EFABCDGEF圖4H132P學(xué)生3：如圖4，連結(jié)AC，過E作EP∥AC交AB于P∵E是BC的中點(diǎn)∴EP是△ABC的中位線∴，∠3=45°∵CF是∠DCG的角平分線∴可得∠ECF=∠APE=135°又∵∠AEF=90°∴∠2+∠AEB=90°∵∠1+∠AEB=90°∴∠1=∠2∴△APE≌△ECF(ASA)∴AE=EF結(jié)果點(diǎn)評(píng)：“在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，如果教師有足夠的時(shí)間給學(xué)生，將可能有意想不到得收獲?！痹谏鲜鋈N證法中，第一和第三種都是教師課前未曾預(yù)設(shè)的。出乎意料的是沒有一個(gè)學(xué)生采用“直接取AB的中點(diǎn)”法，筆者分析這主要是平常遇到大多的添輔助

6、線，常常是連結(jié)線段、延長線段、作垂線段、作平行線等，在一條線段上截取一段的方法，現(xiàn)在的習(xí)題不是很多。另外，由于AE剛好處在一個(gè)直角三角形中，所以學(xué)生比較容易地想到去構(gòu)造新的直角三角形。以上方法的共同點(diǎn)是：通過添輔助線，比較容易地得到三角形全等或相似的角相等的條件，剩下來的關(guān)鍵是找到三角形的邊相等。2.教師點(diǎn)撥由于在幾何證明中，證明角相等比證明線段相等的知識(shí)和方法要多的多，我們能否在添輔助線的時(shí)候，直接創(chuàng)造線段相等從而得到證明呢？ABCDGEF圖5HM經(jīng)過思考，不少學(xué)生豁然開朗，舉手講述了第四種解題思路：學(xué)生4：如圖5，取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以．比較一：這種方法與

7、上述三種方法相比，哪種更簡潔？比較二：這種方法與上述第三種方法相比，有沒有共同之處？3.變式訓(xùn)練ABCDGEF圖6變式一：如圖6，如果把“點(diǎn)E是BC國的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是BC邊上(除B、C外)的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”是否仍然成立？為什么？（1）有了前面的經(jīng)驗(yàn)，不少學(xué)生很快就有了以下證法：學(xué)生5：如圖7，在AB上截取AM=EC，ABCDGEF圖7M123由題知AB=BC，∠B=90°∴BM=BE∴∠3=45°