§32導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

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1、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值基礎知識?自主學習n知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性在某個區(qū)間(q,6)內(nèi),如果f(x)>0,那么函數(shù)尹=心)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值(1)判斷.心0)是極值的方法--般地，當函數(shù)/(x)在點也處連續(xù)時，①如果在九附近的左側(cè)f(x)>0,右側(cè)廣(x)<0,那么./(xo)是極人值；②如果在心附近的左側(cè)f(x)vO,右側(cè)￡(x)>0,那么/(xo)是極小值.(2)求可導函數(shù)極值的步驟①求f(x)；②求方程.廠3=0的根：③檢杳/(X)在方程廠3

2、=0的根附近的左右兩側(cè)導數(shù)值的符號.如果左正右負，那么./W在這個根處取得極人值:如果左負右正，那么*力在這個根處取得極小值.3.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)I'可0,切上連續(xù)的函數(shù)/(兀)在［a,切上必有最大值與最小值.⑵若函數(shù)/⑴在⑷切上單調(diào)遞增，則.他為函數(shù)的最小值，.他為函數(shù)的最人值；若函數(shù)/(兀)在⑷切上單調(diào)遞減，則.血)為函數(shù)的最人值，?他為函數(shù)的最小值.⑶設函數(shù)7U)在s，切上連續(xù)，在(Q,/>)內(nèi)可導，求./(兀)在⑷切上的最人值和最小值的步驟如下：①求.心)在(G，b)內(nèi)的極值;②將心)的各極值與他)，處)進行比較,其小最

3、人的一?個是最大值，最小的一個是最小值.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打7”或“X”)⑴若函數(shù)/⑴在(G,b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么—淀有f(x)>0.(X)⑵如果函數(shù)滄)在某個區(qū)間內(nèi)恒有?廣(x)=0,則?心)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.(V)(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.(V)⑷對可導函數(shù).心)，/(也)=0是也點為極值點的充要條件.(X)(5)函數(shù)的最人值不一定是極人值，函數(shù)的最小值也不一-定是極小值.(V)⑹函數(shù)/(x)=xsinx冇無數(shù)個極值點.(V)考點自測1.函數(shù),/(x)=x是否存在a,使用)在(一2,3)上為

4、減函數(shù),若存在,求出a的取值范圍,若不存在,請說明理由.思維點撥函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對參數(shù)的討論.解f⑴=eA-a,⑴若gWO,則f(”)=『-°20,即.兀0在R上單調(diào)遞增，若a>0,令e'-aMO,則xNlna.因此當aWO時，/(兀)的單調(diào)增區(qū)間為R,當a>0時，.心)的單調(diào)增區(qū)間為［Ina,+~).(2)7/(兀)=e—W0在(-2,3)上恒成立.???在xW(-2,3)上恒成立..?.e_2

5、，故存在實數(shù)使/⑴在(-2,3)上為減函數(shù).思維升華⑴利用導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性；—2111V的單調(diào)減區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,+oo)C.(一8,1)D.(-1,1)答案A解析?yg壬o).???當%e(o,l)時，f(x)<0,/(x)為減函數(shù)；當xG(l,+8)時，/(x)>0,/(X)為增函數(shù).2.(2013-浙江)已知c為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)./(x)=(c“一l)(x—1)*伙=1,2),貝％)A.當k=l時，心)在x=l處取到極小值B.當時，./(X)在x=l處取到極人值C.當k=2時，心)在x=l處収到

6、極小值D.當k=2時，./(x)在x=l處取到極大值答案C解析當A-1時，f(x)=cY-x-1,f(l)H0,.??x=1不是/(x)的極值點.當A=2時，f(x)=(x-l)(xe'+er-2),顯然f(1)=0,且兀在1附近的左邊f(xié)(x)<0,x在1附近的右邊.f(x)>0,???./(x)在x=1處取到極小值.故選C.1.函數(shù)/(X)的定義域為R,/(—1)=2,對任意x￡R,/(x)>2,則/x)>2x+4的解集為()A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(—8,—1)D.(—8,4-00)答案B解析設"心)=心)-(力+4

7、),*.*tn'(x)=f(x)-2>0,:.m(x)在R上是增函數(shù).V7n(-l)=/(-l)-(-24-4)=0,?Iw(x)>0的解集為{xx>-1},即J(x)>2x+4的解集為(-1,+8).2.設1勺<2,則呼，(呼幾崢的人小關(guān)系是.(用連接)?A人eA答案解析令./(X)=x-lnx(l0,?I函數(shù)y=.心)(1vx<2)為增函數(shù)，./(x)>/(l)=1>0,???x>lnx>0^0<—<1'X題型分類?深度剖析(3)/(兀)為增函數(shù)的充要條件是對任意的b)都有f(x)

8、MO且在(q,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為零.應注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.跟蹤訓練1⑴設函數(shù)/(x)=

9、?-(l+a)x2+4ax+24a,其中常數(shù)Q1,則./(x)的單調(diào)減區(qū)間為?(2)若./(