常微分方程復(fù)習(xí)提要.ppt

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1、一、掌握下述基本概念第一章2.微分方程的階的概念，會(huì)判斷方程的階.3.微分方程的線性性的概念，會(huì)判斷方程是線性還是非線性方程.4.微分方程的解的概念，通解和特解的概念，通積分和特積分的概念.5.理解微分方程初值問(wèn)題的概念，掌握初值問(wèn)題的求解步驟.1.微分方程的概念，常微分方程的概念.定義（P3）:聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)某些導(dǎo)數(shù)的等式稱為微分方程.如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程,簡(jiǎn)稱為微分方程.一階隱式方程形如：一階顯式方程形如：n階隱式方程形如：n階

2、顯式方程形如：（其中F為已知的函數(shù)）（微分形式的一階方程：）定義（P3）：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)(或微分的階數(shù))稱為微分方程的階數(shù).定義（P4）：如果一個(gè)微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的，則稱它為線性微分方程，否則稱之為非線性微分方程.定義（P4）:設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，且有得到在區(qū)間I上的恒等式，則稱直到n階的導(dǎo)數(shù).如果把代入微分方程:為該方程在區(qū)間I上的一個(gè)解.定義（P5）：如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣

3、的解為該方程的通解.如果微分方程的解中不含有任意常數(shù),則稱這樣的解為該方程的特解.由隱式表示的通解稱為通積分，由隱式表示的特解稱為特積分.二、掌握下述方程的形式與解法2.齊次方程3.一階線性非齊次方程4.伯努利方程5.全微分方程1.變量可分離方程6.簡(jiǎn)單的可降階高階方程1.變量可分離方程：解法：微分形式變量可分離方程：解法：2.齊次方程：解法：3.一階線性非齊次方程：解法：4.伯努利方程：解法：5.全微分方程：解法1：注：解法2：（觀察法）一、解的存在唯一性定理第二章2.會(huì)判斷一個(gè)微分方程在什么樣的區(qū)

4、域上保證初值解存在唯一.掌握解的存在唯一性定理2.2的條件與結(jié)論，熟記利普希茨條件和利普希茨條件的驗(yàn)證方法.定理2.2：注1：利普希茨條件條件是保證初值問(wèn)題解唯一的充分條件，而非必要條件.注3：保證初值問(wèn)題（2.2）解存在唯一的區(qū)域：二、解的延展2.會(huì)判斷微分方程初值解的存在區(qū)間.1.了解解的延展定理.定理2.3:解的延展定理三、奇解2.會(huì)判斷一個(gè)微分方程不存在奇解.1.了解奇解的概念.定義2.3:微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個(gè)解的積分曲線上每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在.不存在奇解的判別法:奇

5、解只能存在于不滿足解的存在唯一性條件因此如果進(jìn)一步在不滿足解的存在唯一性條件的區(qū)域上不存在方程的解，則可斷定該方程的區(qū)上，無(wú)奇解.一、一階微分方程組第三章了解一階微分方程組的基本概念：通解、特解，初值問(wèn)題等；的一般形式為：含有個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組（3.1）初始條件為：(3.2)微分方程組的解：設(shè)在上可微，并滿足恒等式則稱為微分方程組(3.1)在區(qū)間的一個(gè)解。通解及通積分：含有n個(gè)任意常數(shù)的方程組（3.1）的解為（3.1）的通解.隱式的通解稱為通積分.二、一階線性微分方程組了解一階線性微分方程組的

6、一般形式，向量形式，了解一階線性齊次方程組、一階線性非齊次方程組的概念；對(duì)所有未知函數(shù)都是一次的，即則稱此方程組為一階線性微分方程組.如果一階微分方程組(3.1)中的函數(shù)（3.6）一階線性微分方程組：記一階線性非齊次方程組（向量形式）：（3.7）（3.7）對(duì)應(yīng)的一階線性齊次方程組：（3.8）三、一階線性齊次微分方程組的一般理論1、向量函數(shù)組的線性相關(guān)性的定義（P125定義3.1），朗斯基行列式的定義（P127），向量函數(shù)組的線性相關(guān)性的判別法.2、齊次微分方程組的解組線性無(wú)關(guān)性的判別法（P129推論3

7、.3），基本解組的定義和基本解矩陣的定義（P129）。會(huì)求解組的朗斯基行列式，會(huì)驗(yàn)證方程的基本解組。3、掌握一階線性齊次方程組的通解結(jié)構(gòu)定理（P130定理3.6）定義3.1??設(shè)是m個(gè)定義在區(qū)間I上的n維向量函數(shù).，使得常數(shù)在區(qū)間I上恒成立，性相關(guān)；否則稱它們?cè)趨^(qū)間I上線性無(wú)關(guān).如果存在m個(gè)不全為零的則稱這m個(gè)向量函數(shù)在區(qū)間I上線由這些列向量所組成的矩陣的行列式稱為向量組(3.10)的朗斯基(Wronski)行列式.n個(gè)n維向量函數(shù)組(3.10)定理3.3如果向量組(3.10)在區(qū)間I上線性相關(guān)，則它

8、們的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.推論3.1如果向量組(3.10)的朗斯基行列式W(x)在則向量組(3.10)在I上線性無(wú)關(guān).區(qū)間I上的某一點(diǎn)處不等于零，即線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)向量函數(shù)組向量函數(shù)組線性相關(guān)性的判別法：齊次方程組的解組線性相關(guān)性的判別法：推論3.3方程組(3.8)的n個(gè)解在其定義區(qū)間I上線性無(wú)關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式W(x)在I上任一點(diǎn)不為零.線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)解組我們把一階線性齊次方程組(3.8)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解稱為它的基本解組。