高考理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)作業(yè)47.doc

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1、專題層級(jí)快練(四十七)1．(2017·山東德州一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊的式子為(　　)A．1　　　　　　　　　B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23答案　D解析　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋23.故選D.2．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于(　　)A．1B．2C．3D．0答案　C解析　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形．3．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于

2、(　　)A.　　　　　　　　B.＋C.＋D.＋＋答案　D4．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　)A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)答案　A解析　因?yàn)橐褂脷w納假設(shè)，必須將34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解為歸納假設(shè)和能被8整除的兩部分．所以應(yīng)變形為56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k

3、＋1)．5．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過(guò)計(jì)算c1，c2，c3的值，推測(cè)cn＝__________．答案　解析　c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，故由歸納推理得cn＝.6．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的n∈N*，＋＋…＋＝.答案　略解析　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝＝，左邊＝右邊，所以等式成立．(2)假

4、設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立，即有＋＋…＋＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立．7．在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝(an＋)．(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．答案　(1)a1＝1，a2＝－1，a3＝－(2)an＝－解析　(1)S1＝a1＝(a1＋)，得a12＝1.∵an>0，∴a1＝1.由S2＝a1＋a2＝(a2＋)，

5、得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝－1.又由S3＝a1＋a2＋a3＝(a3＋)，得a32＋2a3－1＝0，∴a3＝－.(2)猜想an＝－(n∈N*)．證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1＝－，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，猜想成立，即ak＝－，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(ak＋1＋)－(ak＋)，即ak＋1＝(ak＋1＋)－(－＋)＝(ak＋1＋)－，∴ak＋12＋2ak＋1－1＝0，∴ak＋1＝－.即n＝k＋1時(shí)猜想成立．由①②知，an＝－(n∈N*)．8．已知ai>0(i＝1，2，

6、…，n)，考察：①a1·≥1；②(a1＋a2)(＋)≥4；③(a1＋a2＋a3)(＋＋)≥9.歸納出對(duì)a1，a2，…，an都成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．答案　(a1＋a2＋a3＋…＋an)(＋＋＋…＋)≥n2解析　結(jié)論：(a1＋a2＋…＋an)·(＋＋…＋)≥n2(n∈N*)．證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即(a1＋a2＋a3＋…＋ak)·(＋＋…＋)≥k2.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)·(＋＋…＋＋)＝(a1＋a2＋…＋ak)(＋＋…＋)

7、＋ak＋1(＋＋…＋)＋(a1＋a2＋…＋ak)＋1≥k2＋(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋1≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.即n＝k＋1時(shí)命題也成立．由①②可得，不等式對(duì)任意正整數(shù)n成立．9．(2017·保定模擬)已知f(x)＝x－x2，設(shè)0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N＋，證明：an＜.答案　略證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，0＜a1＜，不等式an＜成立；因a2＝f(a1)＝－(a1－)2＋≤<，故n＝2時(shí)不等式也成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥2)時(shí)，不等式ak＜成立，因?yàn)閒(x)＝x－x2的對(duì)稱軸為x＝，

8、知f(x)在(－∞，]上為增函數(shù)，所以由ak＜≤，得f(ak)＜f()．于是有ak＋1＜－·＋－＝－＜.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)任何n∈N＋，不等式an＜成立．10．已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，數(shù)列{an}滿足：0